計算可能な分析の用語としての「継続性」とは何ですか？

Question

背景

かつてHaskellで任意の実数を表すデータ型を実行しました。カチーシーケンスをそれに収束させることで、すべての実数をラベル付けします。これにより、 $ \ mathbb {r} $ が通常のトポロジにあります。また、加算、減算、乗算、および除算を実施しました。

しかし、私の先生は言った、「これは良い考えではないようです。比較はここでは決してできませんので、これは非常に実用的ではありません。特に、0による分割が無限ループに落ちることはできません。よく見えます。 "

だから私は私のデータ型が $ \ mathbb {q} $ を拡張したいと思いました。 $ \ mathbb {} $ の等価比較は、 $ \ mathbb {q} $ です。離散トポロジーで。つまり、 $ \ mathbb {r} $ のトポロジを意味します $ \ mathbb {q} $

しかし、私がそのようなデータ型を実装することができたとしても、実用的ではないことがわかったと思います。

証明、ステップ1

$ \ mathbb {r} $ $ \ mathbb {q} $ 離散トポロジーその後、 $ \ {0 \} $ は $ \ mathbb {r} $ で開かれています。 $ +：\ mathbb {r} ^ 2→\ mathbb {r} $ は連続しています。その後 $ \ {（x、-x）：x \ in \ mathbb {r} \} $ は $で開いています\ mathbb {r} ^ 2 $ 。 $ \ mathbb {r} ^ 2 $ は製品トポロジ、 $ \ {（x、-x）\} $ は $ \ mathbb {r} ^ 2 $ の基底要素です。 $ x \ in \ mathbb {r} $ 。その結果、 $ \ {x \} $ は $ \ mathbb {r} $ の基底要素です。 $ x \ in \ mathbb {r} $ 。つまり、 $ \ mathbb {r} $ は離散的なトポロジです。

証明、ステップ2

$ \ mathbb {r} $ は離散トポロジ、 $ \ mathbb {r} $ 比較可能な平等に等しい。これは矛盾であるため、 $ + $ は連続的ではない、、したがって計算可能なです。

質問

私を悩ませているのは太字のテキストです。すべての計算可能な機能が連続的であることはよく知られています（Weihrauch 2000、P. 6）。アナリティ定義と連続性のトポロジの定義は、euclideanスペースの関数と継続的な関数と一致していますが、 $ \ mathbb {r} $ はユークリッド空間ではありません。だから私の証明が正しいかどうかわからない。計算可能な分析における「継続性」の定義は何ですか？

Answer 1

継続性の定義がどのようなものであるべきかについてさまざまな人が異なりますが、私が見る方法は、一部のOracleとの相対的な計算性であると定義する必要があります。例えば：

定義：関数 $ f：\ mathbf {x} \ to \ mathbf {y} $ は連続しています。計算可能な部分関数 $ f：\ subseteq \ mathbf {x} \ times \ mathbb {n} \ mathbf {n} \ to \ mathbf {y} $ 一部の $ p \ mathbb {n} ^ \ mathbb {n} $ $ f（x）= f （x、p）$ 。

だからスペースを取り扱う最もプリミティブな概念は、私たちがそれを使用している表現です。それはそれから計算性の概念を生み出し、そしてそれから私たちは連続性の概念を得ます。

これまでのところ、継続性の定義はトポロジからの継続性とは無関係であり、その用語が選択された理由が疑問に思うかもしれません。 1つの理由は、通常、計算可能な分析定義で連続している関数がトポロジの意味で連続的な関数であるという特徴付けを持つ許容表現を使用することです。

許容表現を持っている場合 $ \ delta：\ subseteq \ sigma ^ \ mathbf {n} \ mathbf {x} $ 、トポロジを取得します $ \ mathbf {x} $ $ \ delta $ 、つまりset << SPAN CLASS="math-container"> $ u \ subseteq \ mathbf {x} $ はオープンIFFが設定されている $ w $ の有限単語がある $ \ delta ^ { - 1}（u）=operatorname {dom}（\ delta）\ bigcup_ {w \ in w} w \ sigma ^ \ mathbb { $ 。 MatthiasSchröderは、許容表現を持つトポロジスペースが $ T_0 $ 推定v> $ t_0 $ Q / P>

今すぐあなたの質問の出発点に戻ってきて、私たちが本物の個別トポロジを使うのを防ぎますか？それができない理由は、すべての推測ベースのスペースが分離可能であること、すなわち（可算）密なシーケンスを持つことです。引用符をセパレート可能にするので、表現に関連するすべてのトポロジは必然的に分離可能です。それが可用性がある場合、個別のスペースが分離可能なので、実際のトポロジを手に入れません。

$ \ mathbb {"$ \ mathbb {"> $ \ mathbb {"}の許容表現を許容する方法があります $ \ mathbb {r} $ \ \ mathbb {r} $ " $ \ mathbb { ^ {*} \ cup \ mathbb {n} ^ \ mathbb {n} $ ）ですが、あなたが質問で議論したように、それは購入できない（そして全体的に、実際の実質的にはほとんどありません）。私たちがそれらを望むように）。

サイドノートでは、誤って $ 0 $ で除算しようとしていなくても停止しないようにすることはできません。実数を持つ線形代数。

参考文献：

ピーターコリンズ： 動的システムへのアプリケーションを使用した計算可能な分析。数学。構造体。コンピュータ。 SCI。 30（2）：173-233（2020）

MartínHötzelescardó： 合成トポロジー：データ型とクラシックスペース。電子。注意してください。コンピュータ。 SCI。 87：21-156（2004）

菊原貴之、Pauly：ゼロで割れる - それはどのくらい悪いです、本当に？。 MFCS 2016：58：1-58：14

ARNO Pauly：表現されたスペースの理論のトポロジー的側面。計算能力5（2）：159-180（2016） arxiv

MatthiasSchröder：

Answer 2

ARNOの答えは、いくつかの非常に便利な背景読み取り素材を提供します、 $ \ mathbb {r} $ に関するあなたの特定の質問に対処したいと思います。

Peter Hertlingによって最初に結果を思い出してみましょう、TeleRem 4.1を参照してください。 実質的にカテゴリ（ PDF 実数 $ \ mathbb {r} $ 、すなわち実数を表すデータ構造の表現があるとします。

• $ 0 $ および $ 1 $ は、
• フィールド操作 $ + $ 、 $ - $ 、 $ \ \ times $ と $ / $ は、$ / $ が計算可能です（ゼロの除算はもちろん未定義です）
• リミット演算子は、急速なCauchyシーケンスを制限することができます（シーケンス $（x_n）_n $ が急速で $ | x_n - x_n - x_m | \ LEQ 2 ^ { - \ min（m、n）} $ ）
• 厳密な順序 $ はsemidecidable
です。

上記の条件は、実際の演算可能なCauchy OrdeEdフィールドであるべきであることを単に述べています。これは、実際の実際の精査の計算可能なバージョンである（Archimedean Axiomが成果する）。

その後次のようになります。

1. $ \ mathbb {r} $ のトポロジは、標準のeuclideanトポロジ
です。
2. 平等は未定であるか、または同等に、ゼロのためのTestNGは未定ではありません。
3. そのような2つのそのような構造は、等間形式である。

これらは避けられない事実です。あなたの先生は、決定的な平等を持っていないことは残念なこと、またはゼロによる分割はエラーを報告する必要があるが、をレールの計算可能な構造を維持したいと思うことは不可能である。

あなたの実装に関して：あなたがの情報とともに、の情報と一緒に本物のものを表すことが重要です。私はあなたがそれをしたことを願っています。