Quelle est la "continuité" comme terme dans l'analyse calculable?

Question

Fond

J'ai une fois mis en œuvre un type de données représentant des nombres réels arbitraires à Haskell. Il étiquette tous les nombres réels en ayant une séquence de Cauchy convergeant dessus. Cela laissera $ \ mathbb {r} $ être dans la topologie habituelle. J'ai également implémenté l'ajout, la soustraction, la multiplication et la division.

Mais mon professeur a dit: «Cela ne semble pas être une bonne idée. Puisque la comparaison est indéchoire ici, cela n'a pas l'air très pratique. En particulier, la division de 0 à tomber dans une boucle infinie ne regarde bien. "

donc je voulais que mon type de données étendra $ \ mathbb {q} $ . Depuis la comparaison de l'égalité de $ \ mathbb {q} $ est décrivable, $ \ mathbb {q} $ est dans la topologie discrète. Cela signifie une topologie sur $ \ mathbb {r} $ doit être plus fin que la topologie discrète sur $ \ mathbb {q} $ .

Mais je pense que j'ai constaté que, même si je pouvais mettre en œuvre un tel type de données, ce sera peu pratique.

Preuve, étape 1

let $ \ mathbb {r} $ soit plus fin que $ \ mathbb {q} $ Topologie discrète. Alors $ \ {0 \} $ est ouvert dans $ \ mathbb {r} $ . Supposons $ +: \ MATHBB {R} ^ 2 → \ mathbb {r} $ est continu. Alors $ \ {(x, -x): x \ in \ mathbb {r} \} $ est ouvert dans $ \ mathbb {r} ^ 2 $ . Puisque $ \ mathbb {r} ^ 2 $ est en topologie de produit, $ \ {(x, -x) \} $ est un élément de base de $ \ mathbb {r} ^ 2 $ pour chaque $ x \ \ mathbb {r} $ . Il en résulte que $ \ {x \} $ est un élément de base de $ \ mathbb {r} $ Pour chaque $ x \ in \ mathbb {r} $ . C'est-à-dire $ \ mathbb {r} $ est en topologie discrète.

Preuve, étape 2

depuis $ \ mathbb {r} $ est en topologie discrète, $ \ mathbb {r} $ est de manière spécifique égalité comparable. Ceci est une contradiction, donc $ + n'est pas continu, et donc pas calculable .

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Question

Qu'est-ce que vous déranger est le texte en gras. Il est bien connu que chaque fonction calculable est continue (Weihrauch 2000, p. 6). Bien que la définition analytique et la définition topologique de la continuité coïncident dans des fonctions de et vers des espaces euclidiens, $ \ mathbb {r} $ ci-dessus n'est pas un espace euclidien. Donc, je ne suis pas sûr si ma preuve est correcte. Quelle est la définition de "continuité" dans l'analyse calculable?

Answer 1

Différentes personnes ont des points de vue différents sur la définition de la continuité, mais la façon dont je le vois, nous devrions définir la continuité pour être calculable par rapport à certains Oracle. Par exemple:

Définition : une fonction $ f: \ mathbf {x} \ to \ mathbf {y} $ $ est continu, s'il y a une fonction partielle calculable $ F: \ sous -éréeq \ mathbf {x} \ fois \ mathbb {n} ^ \ mathbb {n} \ to \ mathbf {y} $ et Quelques $ p \ in \ mathbb {n} ^ \ mathbb {n} $ tel que $ f (x)= f (x, p) $ .

Donc, le concept le plus primitif dans la manipulation d'un espace correspond à la représentation que nous utilisons, ce qui donne ensuite la notion de calculabilité et, de cela, nous obtenons la notion de continuité.

Jusqu'à présent, la définition de la continuité semble plutôt non liée à la continuité de la topologie et on peut se demander pourquoi ce terme a été choisi. Une des raisons est que nous utilisons habituellement représentations admissibles , qui présentent la caractérisation que les fonctions entre eux qui sont continues dans la définition d'analyse calculable sont exactement les fonctions qui sont continues dans le sens topologique.

Si nous avons une représentation admissible $ \ delta: \ sous -éréeq \ sigma ^ \ mathbb {n} \ to \ mathbf {x} $ , nous obtenons la topologie sur $ \ mathbf {x} $ comme la topologie finale le long $ \ delta $ , c'est-à-dire un ensemble < SPAN CLASS="MATH-CONTAINER"> $ U \ SOUSETEQ \ MATHBF {x} $ est ouvert IFF Il y a un ensemble $ w $ de mots finis telle que $ \ delta ^ {- 1} (u)=opératoireName {DOM} (\ delta) \ cap \ bigcup_ {w \ in w} w \ sigma ^ \ mathbb { N} $ . Matthias Schröder a montré que les espaces topologiques qui ont des représentations admissibles sont exactement la $ T_0 $ quotients d'espaces de manière à base.

maintenant pour revenir lentement au point de départ de votre question, ce qui nous empêche d'utiliser la topologie discrète sur les réels? La raison pour laquelle nous ne pouvons pas faire est que chaque espace de manière basé est séparable, c'est-à-dire une séquence dense (dénombrable). Prendre des quotients conserves étant séparables, chaque topologie associée à une représentation est nécessairement séparable. Un espace discret est séparable IFF il est comptable, nous ne pouvons donc pas obtenir la topologie discrète sur les réelles.

Il y a un moyen d'obtenir une représentation admissible de $ \ mathbb {r} $ qui fait $ \ mathbb { Q} $ un sous-espace discret (essentiellement, traiter $ \ mathbb {r} $ comme $ \ mathbb { N} ^ {*} \ tasse \ mathbb {n} ^ \ mathbb {n} $ ), mais comme vous avez discuté dans la question, cela rend l'addition insuffisant (et globalement, a très peu ressemblance aux réels comme nous le voudrions).

sur une note latérale, que nous ne pouvons pas éviter de rester coincés sans même la reconnaître lorsqu'on essaie accidentellement de diviser par 0 $ est un obstacle important si nous essayons de faire algèbre linéaire avec des nombres réels.

références :

Pieter Collins: Analyse calculable avec des applications aux systèmes dynamiques . Math. Struct. Compu. SCI. 30 (2): 173-233 (2020)

Martín Hötzel Escardó: Topologie synthétique: de types de données et d'espaces classiques . Électron. Note Theor. Compu. SCI. 87: 21-156 (2004)

Takayuki Kihara, Arno Pauly: Division par zéro - Comment est-ce mauvais, vraiment? . MFCS 2016: 58: 1-58: 14

Arno Pauly: sur les aspects topologiques de la théorie des espaces représentés . Compubilité 5 (2): 159-180 (2016) Arxiv

Matthias Schröder: Admissibilité étendue . Theor. Compu. SCI. 284 (2): 519-538 (2002)

Answer 2

La réponse d'Arno fournit un matériau de lecture de fond très utile, je voudrais juste répondre à votre question spécifique sur $ \ mathbb {r} $

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Rappelons d'abord un résultat de Peter Herling, voir Theorem 4.1 dans Une structure de nombres réel qui est efficacement catégorique ( PDF ici), à propos de la structure calculable du nombres réels. Supposons que nous ayons une représentation de $ \ mathbb {r} $ , c'est-à-dire une structure de données représentant les réelles, telle que:

• $ 0 $ et $ 1 $ sont des éléments calculables de $ \ mathbb {r} $ ,
• les opérations de champ $ + $ , $ - $ , $ \ fois $ $ et $ / $ sont calculables (où la division par zéro est bien sûr indéfinie)
• L'opérateur limite, prenant une séquence rapide de Cauchy à sa limite, est calculable (une séquence $ (x_n) _n $ est rapide quand $ | x_n - x_m | \ Leq 2 ^ {- \ min (m, n)} $ ).
• L'ordre strict $ < $ est semi-questionnelle

Les conditions ci-dessus indiquent simplement que les réelles devraient être un champ commandé de Cauchy calculable, qui est à peu près la version calculable de la chractériisation habituelle des réelles (l'axiome de l'archimente détient également, à sa sortie).

alors il s'ensuit que:

1. la topologie de $ \ mathbb {r} $ est la topologie euclidienne standard
2. L'égalité est indéchrable ou de manière équivalente, le test à zéro est indécitable.
3. Toutes deux structures de ce type sont de manière informatique isomorphe.

Ce sont des faits inévitables. Votre professeur peut penser que la non-égalité reconnue n'est pas malheureuse, ni que la division de zéro devrait signaler une erreur, mais qui est impossible d'organiser si on veut garder la structure calculable des réels.

En ce qui concerne votre implémentation: il est essentiel que vous représentais un réel avec une séquence de Cauchy avec les informations sur la rapidité avec laquelle il converge. J'espère que tu as fait ça.