可计算分析中的“连续性”是什么？

Question

背景

我一旦实现了一个代表Haskell中的任意实数的数据类型。它通过将Cauchy序列融合到它来标记每个实数。这将让 $ \ mathbb {r} $ 在通常的拓扑中。我还实现了加法，减法，乘法和划分。

但是我的老师说：“这似乎并不是一个好主意。由于这里的比较是不可行的，这看起来并不是很实际的。特别是，尤其是逐个划分到无限循环中的划分。看起来很好。“

所以我希望我的数据类型扩展 $ \ mathbb {q} $ 。由于 $ \ mathbb {q} $ 的平等比较是可解除的，因此 $ \ mathbb {q} $ 是在离散拓扑中。这意味着 $ \ mathbb {r} $ 必须比 $ \ mathbb {q}更精细的拓扑。 $ 。

但是，我想我发现了，即使我能实施这样的数据类型，它也是不切实际的。

证明，步骤1

let $ \ mathbb {r} $ 更精细地比 $ \ mathbb {q} $ 离散拓扑。然后 $ \ {0 \} $ 在 $ \ mathbb {r} $ 中打开。假设 $ +：\ mathbb {r} ^ 2→mathbb {r} $ 是连续的。然后 $ \ {（x，-x）：x \ in \ mathbb {r} \} $ 在 $中打开\ mathbb {r} ^ 2 $ 。由于<跨越类=“math-container”> $ \ mathbb {r} ^ 2 $ 是产品拓扑， $ \ {（x，-x）\} $ 是 $ \ mathbb {r} ^ 2 $ 的基本元素，每个 $ x \ in \ mathbb {r} $ 。因此，<跨度类=“math-container”> $ \ {x \} $ 是 $ \ mathbb {r} $ 的基本元素对于每个 $ x \ in \ mathbb {r} $ 。也就是说， $ \ mathbb {r} $ 是在离散拓扑中。

证明，步骤2

由于 $ \ mathbb {r} $ 是在离散拓扑中， $ \ mathbb {r} $ 可计算相等相当。这是一个矛盾，所以 $ + $ 不连续，，因此不计算。

问题

是什么困扰我是粗体的文本。众所周知，每个可计算功能都是连续的（Weihrauch 2000，第6页）。虽然分析定义和连续性的拓扑定义符合来自欧几里德空间的功能，但<跨度类=“math-container”> $ \ mathbb {r} $ 上面不是欧几里德空间。所以我不确定我的证明是否正确。可计算分析中“连续性”的定义是什么？

Answer 1

不同的人对连续性的定义应该是不同的看法，但我看到它的方式，我们应该定义相对于一些Oracle的可计算性的连续性。例如：

定义：一个函数 $ f：\ mathbf {x} \ to \ mathbf {y} $ 是连续的，如果有的话一个可计算的部分函数 $ f：\ subseteq \ mathbf {x} \ times \ mathbb {n} ^ \ mathbb {n} \ to \ mathbf {y} $ 和一些 $ p \ in \ mathbb {n} ^ \ mathbb {n} $ 这样 $ f（x）= f （x，p）$ 。

因此，处理空间中最原始的概念是我们为此使用的表示，然后，这会产生可计算性的概念，从中获得连续性的概念。

到目前为止，连续性的定义似乎与拓扑的连续性不相关，有人可能想知道为什么选择该术语。一个原因是我们通常使用可允许的表示，该表征具有在可计算分析定义中连续的它们之间的功能恰好是拓扑意义上连续的功能。

如果我们有一个可允许的表示 $ \ delta：\ subseteq \ sigma ^ \ mathbb {n} \ to \ mathbf {x} $ ，我们得到拓扑在 $ \ mathbf {x} $ 作为最终拓扑沿 $ \ delta $ ，即设置< Span Class=“Math-Container”> $ U \ SubseteQ \ MathBF {x} $ 是打开的IFF有一个集合 $ w $ 的有限单词这样 $ \ delta ^ { - 1}（u）=operatorname {dom}（\ delta）\ cap \ bigcup_ {w \ in w} w \ sigma ^ \ mathbb { n} $ 。 MatthiasSchröder表明，具有可允许表示的拓扑空间正是<跨度类=“数学容器”> $ T_0 $ 基于可选的空间的标本。

现在慢慢回到你问题的起点，是什么可以防止我们在真实上使用离散拓扑？我们不能这样做的原因是每个基于几个基于的空间是可分离的，即具有（可数）密集的序列。拍摄额外时分保留可分离，因此与表示相关的每个拓扑必须是可分离的。离散空间是可分离的，所以我们无法在真实上获得离散拓扑。

有一种方法可以获得 $ \ mathbb {r} $ 的允许表示，这使 $ \ mathbb { q} $ 一个离散子空间（基本上，处理 $ \ mathbb {r} $ 作为 $ \ mathbb { n} ^ {*} \ cup \ mathbb {n} ^ \ mathbb {n} $ ），但正如您所说的那样，这使得添加无能的（和整体，与真实的相似之处正如我们想要的那样）。

在侧面笔记中，如果我们不小心尝试除以 $ 0 $ ，我们无法避免甚至识别它，我们无法避免陷入困境。线性代数与实数。

引用：

Pieter Collins： 使用应用程序到动态系统的可计算分析。数学。结构。计算。 SCI。 30（2）：173-233（2020）

MartínHötzelSecardó： 合成拓扑：数据类型和古典空间。电子。笔记你。计算。 SCI。 87：21-156（2004）

Takayuki Kihara，Arno Pauly：除以零 - 它有多糟糕，真的？。 MFCS 2016：58：1-58：14

arno pauly：代表空间理论的拓扑方面。计算性5（2）：159-180（2016） arxiv

matthiasschröder： 扩展可允许性。你。计算。 SCI。 284（2）：519-538（2002）

Answer 2

arno的答案提供了一些非常有用的背景阅读材料，我只想解决关于 $ \ mathbb {r} $

的具体问题。

让我们首先通过Peter Hertling召回结果，参见定理4.1 有效分类的实数结构（ pdf 这里），关于可计算结构实数。假设我们有 $ \ mathbb {r} $ ，即表示真实的数据结构，使得：

• $ 0 $ 和 $ 1 $ 是 $ \ mathbb {r} $ ，
• 字段操作 $ + $ ， $ - $ ， $ \ times $ 和 $ / $ 可计算（其中除以零当然未定义）
• 限制运算符，以快速的cauchy序列到其限制，是可计算的（序列 $（x_n）_n $ 当 $ | X_N - X_M | \ Leq 2 ^ { - \ min（m，n）} $ ）。
• 严格的顺序 $ <$ 是半法的

上述条件只是说明实际应该是一个可计算的Cauchy有序字段，这几乎是实际情况通常的计算版本（Archimedean Axiom也持有）。

然后它如下：

1. $ \ mathbb {r} $ 是标准欧几里德拓扑
的拓扑
2. 平等是不可透明的，或等效，Testng为零是不可澄清的。
3. 任何两个这样的结构都是算法的。

这些是不可避免的事实。您的老师可能认为没有可判定的平等是不幸的，或者划分零零应该报告错误，但是如果一个人想要保持真实的可计算结构，则不可能安排。

关于您的实现：您将与Cauchy序列与信息一起表示真实的信息至关重要的是。我希望你这样做。