يحسب احتمال قسم من توزيع مشترك

Question

بالنظر إلى أن لدي توزيع مشترك مستمر لمتغيرين عشوائيين مستقلين (دعنا نفترض أن الفارغ المستقلة على محور x و z، والمعال - الاحتمال المشترك - هو على المحور Y)، ولدي خط في أي مكان على طائرة XZ، كيف يمكنني حساب احتمال السقوط على جانب واحد أو آخر هذا الخط؟

Answer 1

أول نقل كل شيء بحيث يتركز التوزيعتين العاديان (العاشر و Z) على الصفر؛ الآن ستكون الدالة المشتركة متمركزة في الأصل.

الآن قم بتوسيع إحدى المحاور بحيث يكون لدى التوزيعتين نفس التباين (أو "العرض"). الآن يجب أن يكون الاحتمال المشترك هيلا متماثل الدوران.

الآن كل ما يهم هو مدى قرب الخط يأتي إلى الأصل. تدوير حول الأصل (سيغادر هذا الاحتمال المشترك دون تغيير) حتى يتعارض الخط موازية واحدة من المحاور، كما يقول Z. أنت الآن تسأل عن احتمال أن تتمتع نقطة عشوائية بأن X أكبر أو أقل من القيمة X من الخط. التي تحددها أحد وظائف الأجهزة الدالة Scaled (إنها نفسها)، ويمكن حسابها عن طريق وظيفة الخطأ.

أستطيع أن أكتب الرياضيات إذا كان ذلك مفيدا.

تحرير: سأحاول كتابة الخطوة الأخيرة. عفوا عن بلدي croude ascii، لا يمكنني الوصول إلى قرص الرياضيات الجيد.

لنفترض أننا قد قمت بتقسيم وتركزت التوزيعات بحيث Sigmax = Sigmaz = 1، واستورا كل شيء:

احتمال مشترك: p (x، z) = 1 / (2 pi) exp (- (x ^ 2 + z ^ 2) / 2) السطر: x = c

الآن للعثور على احتمال أن تكون نقطة عشوائية ستكون على شريط "عمودي" ضيق بين بعض X و X + DX:

p (x) dx = int [z = -inf، z = + inf] {dz p (x، z)} = 1 / sqrt (2 pi) exp (-x ^ 2/2) 1 / sqrt (2 pi ) int [z = -inf، z = + inf] {dz exp (-z ^ / 2/2)} = 1 / sqrt (2 pi) exp (-x ^ 2/2)

ولكن هذا هو نفسه (أيضا) أحد التوزيعتين العاديين. لذلك احتمال أن تكون نقطة عشوائية، على سبيل المثال، إلى يسار الخط هي

p (c> x) = int [-inf، c] {dx 1 / sqrt (2 pi) exp (-x ^ 2/2)} = 1/2 (1 - ERF (C / SQRT (2)))