Cálculo de la probabilidad de que una sección de una distribución conjunta

Question

Teniendo en cuenta que tienen una distribución conjunta continua de dos variables aleatorias normales independientes (asumamos que la vars independientes están en el eje X y Z, y el dependiente - la probabilidad conjunta - está en el eje Y), y tener una línea de en cualquier lugar en el plano XZ, ¿cómo iba a calcular la probabilidad de un punto de caer en un lado u otro de esa línea?

Answer 1

Primera mover todo para que las dos distribuciones normales (la X y la Z) están centradas en cero; ahora la ditribution conjunto será una colina centrada en el origen.

Ahora escalar uno de los ejes de modo que las dos distribuciones tienen la misma varianza (o "anchura"). Ahora la probabilidad conjunta debe ser una colina con simetría de rotación.

Ahora lo único que importa es que tan cerca de la línea viene al origen. Gire alrededor del origen (esto dejará sin cambios la probabilidad conjunta) hasta que la línea es paralela a uno de los ejes, por ejemplo Z. Ahora usted está pidiendo la probabilidad de que un punto al azar tendrá mayor X o menor que el valor X de la línea. Eso es determinada por una de las funciones ditribution escala (que son la misma), y se puede calcular por medio de la función de error.

Puedo escribir las matemáticas si eso sería útil.

EDIT: Voy a tratar de escribir el último paso. Perdona mi ascii crudo, no tengo acceso a una buena tableta de matemáticas.

Supongamos que hemos escalamos y centrado las distribuciones de manera que Sigmax = sigmaZ = 1, y se hace girar todo:

joint probability: P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2)

line: x = c

Ahora para encontrar la probabilidad de que un punto al azar será en una estrecha franja "vertical" entre algunos x y x + dx:

P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)

Pero eso es lo mismo que (sea) una de las dos distribuciones normales. Por lo que la probabilidad de que un punto al azar será, por ejemplo, a la izquierda de la línea es

P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)}
       = 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))