Le calcul de la probabilité d'une section d'une distribution conjointe

Question

Considérant I ont une distribution conjointe continue de deux variables aléatoires indépendantes normales (supposons que le vars indépendants sont sur l'axe X et Z, et la charge - la probabilité conjointe - est sur l'axe Y), et I ont une ligne partout sur le plan XZ, comment pourrais-je calculer la probabilité d'un point de chute d'un côté ou l'autre de cette ligne?

Answer 1

Tout d'abord déplacer tout de telle sorte que les deux distributions normales (le X et le Z) sont centrées sur zéro; maintenant la ditribution commune sera une colline centrée sur l'origine.

Maintenant échelle l'un des axes de telle sorte que les deux distributions ont la même variance (ou « largeur »). Maintenant, la probabilité conjointe devrait être une colline symétrique en rotation.

Maintenant, tout ce qui compte est la proximité de la ligne est à l'origine. Faites pivoter sur l'origine (cela laissera la probabilité commune inchangée) jusqu'à ce que la ligne est parallèle à l'un des axes, disons Z. Maintenant, vous demandez la probabilité qu'un point aléatoire aura X supérieure ou inférieure à la valeur X de la ligne. Cela est déterminé par l'une des fonctions de ditribution à l'échelle (ce sont les mêmes), et peuvent être calculés au moyen de la fonction d'erreur.

Je peux écrire les mathématiques si cela serait utile.

EDIT: Je vais essayer d'écrire la dernière étape. Pardonnez mon ascii brut, je n'ai pas accès à un bon comprimé de mathématiques.

Supposons que nous avons mis à l'échelle et les distributions centrons afin que Sigmax = sigmaZ = 1, et tourné tout:

joint probability: P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2)

line: x = c

Maintenant, pour trouver la probabilité qu'un point aléatoire sera sur une bande « verticale » étroite entre certains x et x + dx:

P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)

Mais c'est la même chose que (soit) l'une des deux distributions normales. Donc, la probabilité qu'un point aléatoire sera, par exemple, à gauche de la ligne est

P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)}
       = 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))