Calculando a probabilidade para uma seção de uma distribuição conjunta

Question

Considerando que eu tenho uma distribuição contínua conjunta de duas variáveis ??aleatórias normais independentes (vamos supor que os vars independentes estão no eixo X e Z, eo dependente - a probabilidade conjunta - está no eixo Y), e eu tenho uma linha em qualquer lugar no plano XZ, como eu iria calcular a probabilidade de um ponto de cair de um lado ou do outro da linha?

Answer 1

Primeiro movimento tudo de modo que as duas distribuições normais (o X e o Z) está centrado em zero; agora o ditribution conjunta será uma colina centrado na origem.

Agora escalar um dos eixos de modo que as duas distribuições têm a mesma variância (ou "largura"). Agora, a probabilidade conjunta deve ser uma colina rotacionalmente simétrica.

Agora, tudo o que importa é o quão perto a linha vem à origem. Girar sobre a origem (isto irá deixar a probabilidade conjunta inalterado) até que a linha é paralela a um dos eixos, diz Z. Agora você está pedindo a probabilidade de que um ponto aleatório terá X maior ou menor que o valor de X da linha. Isso é determinado por uma das funções ditribution dimensionado (eles são o mesmo), e pode ser calculada por meio da função de erro.

Eu posso escrever a matemática se isso seria útil.

EDIT: Eu vou tentar escrever a última etapa. Pardon minha ascii bruto, eu não tenho acesso a um tablet boa matemática.

Suponha que nós escalado e centrado as distribuições para que sigmaX = sigmaZ = 1, e tudo rodando:

joint probability: P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2)

line: x = c

Agora, para encontrar a probabilidade de que um ponto aleatório será em uma estreita faixa "vertical" entre alguns x e x + dx:

P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)

Mas isso é o mesmo que (ou) uma das duas distribuições normais. Assim, a probabilidade de que um ponto aleatório será, digamos, para a esquerda da linha é

P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)}
       = 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))