공동 분배 섹션의 확률 계산

Question

두 개의 독립적 인 정규 랜덤 변수의 연속 관절 분포를 고려할 때 (독립적 인 Vars가 X와 Z 축에 있고 종속성 - 조인트 확률이 y 축에 있다고 가정하자). XZ 평면, 한쪽 또는 다른쪽에 지점이 떨어질 확률을 어떻게 계산합니까?

Answer 1

먼저 두 가지 정규 분포 (x와 z)가 0에 중심이되도록 모든 것을 움직입니다. 이제 공동의 이질은 기원을 중심으로 한 언덕이 될 것입니다.

이제 두 분포가 동일한 분산 (또는 "폭")을 갖도록 축 중 하나를 축소하십시오. 이제 관절 확률은 회전 적으로 대칭 언덕이어야합니다.

이제 중요한 것은 선이 원산지에 얼마나 가까이 오는지입니다. 선이 축 중 하나와 평행 할 때까지 원점에 대해 회전합니다 (이것은 조인트 확률을 변경하지 않습니다). 라인의. 이는 스케일링 된 DORTRIBUTION 기능 중 하나에 의해 결정되며 (동일) 오류 기능을 통해 계산할 수 있습니다.

유용한 경우 수학을 쓸 수 있습니다.

편집 : 마지막 단계를 작성하려고합니다. 용서 내 조잡한 ASCII, 나는 좋은 수학 태블릿에 접근 할 수 없습니다.

sigmax = sigmaz = 1을 위해 분포를 스케일링하고 중앙에 놓았고 모든 것을 회전했다고 가정합니다.

joint probability: P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2)

line: x = c

이제 임의의 포인트가 일부 x와 x+dx 사이의 좁은 "수직"스트립에있을 확률을 찾으십시오.

P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)

그러나 그것은 두 가지 정규 분포 중 하나와 동일합니다. 따라서 임의의 지점이 라인의 왼쪽에있을 확률은

P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)}
       = 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))