راسل مفارقة [مغلقة]

Question

اسمحوا X تكون كل مجموعة من مجموعات التي لا تحتوي على أنفسهم.هو X عضوا X ؟

Answer 1

في ZFC, إما بديهية من الأساس [المذكورة] أو اكسيوم (مخطط) من الفهم سوف تمنع ذلك.أول لأسباب واضحة;الثاني لأنه يقول أساسا أن تعطى z و من المنشأة P, يمكنك بناء { x ∈ z : P(x) } ، ولكن لتوليد راسل مجموعة, كنت في حاجة z = V (فئة جميع مجموعات) ، وهي ليست مجموعة (أيلا يمكن أن تتولد من أي معين البديهيات).

في أسس جديدة (NF), "x ∉ x"ليست طبقية الصيغة ، و إذا مرة أخرى لا يمكننا تحديد راسل مجموعة.إلى حد ما متعجبا ، ومع ذلك ، V هو مجموعة في NF.

في فون نيومان--Bernays--Gödel مجموعة من الناحية النظريه (NBG) ، فئة R = { x : x هو مجموعة ، x ∉ x } هل يمكن تحديدها.ثم نحن نسأل ما إذا كان R ∈ R;أنا أيضا R ∉ R, إعطاء التناقض.وهكذا يجب أن يكون R ∉ R.ولكن لا يوجد أي تناقض هنا منذ لأي فئة A, A ∉ R يعني إما A ∈ A أو A هي الدرجة المناسبة.منذ R ∉ R, ، يجب أن يكون ببساطة أن R هي الدرجة المناسبة.

بالطبع الطبقة R = { x : x ∉ x } دون تقييد ، هو ببساطة لا يمكن تحديدها في NBG.

أيضا نلاحظ أن الإجراء أعلاه رسميا constructable كدليل في NBG, بينما في ZFC على المرء أن يلجأ إلى الفوقية المنطق.

Answer 2

السؤال هو سوء تشكل في مستوى ZFC (Zermelo-Fraenkel + البديهيه للاختيار) مجموعة من الناحية النظريه لأن الكائن وبالتالي يعرف غير مجموعة.

منذ (مرة أخرى ، على افتراض القياسية ZFC) الخاص بك الدرجة {x :س\لا\في س} ليس مجموعة ، يصبح الجواب لا, انها ليست عنصرا من نفسها (حتى الدرجة) منذ فقط يمكن أن تكون مجموعات عناصر من فئات أو مجموعات.

بالمناسبة, في أقرب وقت كما كنت توافق على اكسيوم من الأساس, ولا يمكن أن يكون عنصرا من نفسها.

بالطبع الشيء الجميل في الرياضيات يمكنك اختيار أيهما البديهيات تريد :) ولكن الاعتقاد في مفارقات غريبة.

Answer 3

الأكثر أناقة دليل رأيته يشبه رسل المفارقة عن كثب.

نظرية (كانتور ، أعتقد).اسمحوا × مجموعة ، 2^X مجموعة من مجموعات فرعية.ثم بطاقة(X) < بطاقة(2^س).

دليل.بالتأكيد بطاقة(X) <= بطاقة(2^س) ، لأن هناك تافهة bijection بين X و ووحدانية في 2^X.يجب علينا أن نثبت أن بطاقة(X) != بطاقة(2^س).

لنفترض أن هناك bijection بين X و 2^X.ثم كل xk في X تعيينها إلى مجموعة حزب العدالة والتنمية في 2^X.

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• xk ---> Ak
• ...

لكل xk وهناك احتمالات:إما xk ينتمي إلى حزب العدالة والتنمية ، أو لا.اسمحوا م ان مجموعة من تلك xk التي لا لا تنتمي إلى المقابلة مجموعة حزب العدالة والتنمية.م هي مجموعة فرعية من X, وبالتالي يجب أن يكون هناك عنصر m X التي تم تعيينها إلى م من قبل bijection.

لا م تنتمي إلى م ؟ إذا كان كذلك, ثم كان لا م هي مجموعة من تلك x التي لا لا تنتمي إلى مجموعة انهم تعيينها.إذا كان لا ثم لا ، م يحتوي على كل مثل x.هذا التناقض ينبع من افتراض أن bijection موجود.وهكذا bijection لا يمكن وجود اثنين cardinalities مختلفة ، نظرية ثبت.