Le paradoxe de Russell [fermé]

Question

Soit X l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes.X est-il membre de X ?

Answer 1

Dans ZFC, soit l'axiome de fondation [comme mentionné], soit l'axiome (schéma) de compréhension l'interdiront.La première, pour des raisons évidentes ;la seconde, puisqu'elle dit essentiellement que pour une donnée z et propriété de premier ordre P., vous pouvez construire { X ∈ z : P.(X) }, mais pour générer l’ensemble de Russell, vous auriez besoin z = V (la classe de tous les ensembles), qui n'est pas un ensemble (c'est-à-direne peut être généré à partir d’aucun des axiomes donnés).

Dans Nouvelles Fondations (NF), "X ∉ X" n'est pas une formule stratifiée, et donc encore une fois nous ne pouvons pas définir l'ensemble de Russell.Cependant, de manière assez amusante, V est un ensemble dans NF.

Dans la théorie des ensembles de von Neumann--Bernays--Gödel (NBG), la classe R. = { X : X est un ensemble et X ∉ X } est définissable.On se demande alors si R. ∈ R.;si c'est le cas, alors aussi R. ∉ R., donnant une contradiction.Nous devons donc avoir R. ∉ R..Mais il n’y a pas de contradiction ici puisque pour une classe donnée UN, UN ∉ R. implique soit UN ∈ UN ou UN est une classe appropriée.Depuis R. ∉ R., il faut simplement avoir ça R. est une classe appropriée.

Bien entendu, la classe R. = { X : X ∉ X }, sans la restriction, n'est tout simplement pas définissable dans NBG.

Il convient également de noter que la procédure ci-dessus est formellement constructible comme preuve dans NBG, alors que dans ZFC il faut recourir au méta-raisonnement.

Answer 2

La question est mal posée dans la norme ZFC (Zermelo-Fraenkel + axiome du choix) théorie des ensembles car l'objet ainsi défini n'est pas un ensemble.

Puisque (encore une fois, en supposant un ZFC standard), votre classe {X :x ot\in x} n'est pas un ensemble, la réponse devient non, ce n'est pas un élément en soi (même en tant que classe) puisque seuls les ensembles peuvent être des éléments de classes ou d'ensembles.

D'ailleurs, dès que vous acceptez le axiome de fondation, aucun ensemble ne peut être un élément de lui-même.

Bien sûr, ce qui est bien avec les mathématiques, c'est que vous pouvez choisir les axiomes que vous voulez :) mais croire aux paradoxes est tout simplement bizarre.

Answer 3

La preuve la plus élégante que j’ai jamais vue ressemble beaucoup au paradoxe de Russell.

Théorème (Cantor, je suppose).Soit X un ensemble et 2 ^ X l'ensemble de ses sous-ensembles.Puis carte(X) < carte(2^X).

Preuve.Sûrement card(X) <= card(2^X), puisqu'il existe une bijection triviale entre X et les singletons dans 2^X.Nous devons prouver que card(X) != card(2^X).

Supposons qu'il existe une bijection entre X et 2^X.Ensuite, chaque xk dans X est mappé à un ensemble Ak dans 2^X.

• x1 ---> A1
• x2 --->A2
• ...
• xk ---> Ak
• ...

Pour chaque xk, les chances sont :soit xk appartient à Ak, soit il ne l'appartient pas.Soit M l'ensemble de tous ces xk qui font pas appartiennent à leur ensemble correspondant Ak.M est un sous-ensemble de X, il doit donc exister un élément m de X qui est mappé à M par la bijection.

M appartient-il à M ?Si c’est le cas, alors ce n’est pas le cas, car M est l’ensemble de ces x qui font pas appartiennent à l'ensemble auquel ils sont mappés.Si ce n’est pas le cas, alors c’est le cas, car M contient tous de tels x.Cette contradiction découle de l'hypothèse qu'une bijection existe.Ainsi une bijection ne peut pas exister, les deux cardinalités sont différentes et le théorème est démontré.