La paradoja de Russell [cerrado]

Question

Sea X el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos.¿Es X miembro de X?

Answer 1

En ZFC, ya sea el axioma de fundamento [como se mencionó] o el axioma (esquema) de comprensión lo prohibirán.La primera, por razones obvias;el segundo, ya que básicamente dice que por dado z y propiedad de primer orden PAG, puedes construir { X ∈ z : PAG(X) }, pero para generar el conjunto de Russell, necesitarías z = V (la clase de todos los conjuntos), que no es un conjunto (es decir,no puede generarse a partir de ninguno de los axiomas dados).

En Nuevas Fundaciones (NF), "X ∉ X" no es una fórmula estratificada y, por lo tanto, nuevamente no podemos definir el conjunto de Russell.Un tanto divertido, sin embargo, V es un conjunto en NF.

En von Neumann--Bernays--Teoría de conjuntos de Gödel (NBG), la clase R = { X : X es un conjunto y X ∉ X } es definible.Luego preguntamos si R ∈ R;si es así entonces también R ∉ R, dando una contradicción.Así debemos tener R ∉ R.Pero no hay ninguna contradicción aquí, ya que para cualquier clase dada A, A ∉ R implica cualquiera A ∈ A o A es una clase adecuada.Desde R ∉ R, simplemente debemos tener eso R es una clase adecuada.

Por supuesto, la clase R = { X : X ∉ X }, sin la restricción, simplemente no se puede definir en NBG.

También es de destacar que el procedimiento anterior se puede construir formalmente como una prueba en NBG, Mientras en ZFC hay que recurrir al metarazonamiento.

Answer 2

La pregunta está mal planteada en la norma. ZFC (Zermelo-Fraenkel + axioma de elección) teoría de conjuntos porque el objeto así definido no es un conjunto.

Dado que (de nuevo, asumiendo ZFC estándar) su clase {X :x ot\in x} no es un conjunto, la respuesta es no, no es un elemento en sí mismo (ni siquiera como clase) ya que solo los conjuntos pueden ser elementos de clases o conjuntos.

Por cierto, tan pronto como aceptes las axioma de fundamento, ningún conjunto puede ser un elemento de sí mismo.

Por supuesto, lo bueno de las matemáticas es que puedes elegir los axiomas que quieras :) pero creer en paradojas es simplemente extraño.

Answer 3

La prueba más elegante que he visto jamás se parece mucho a la paradoja de Russell.

Teorema (Cantor, supongo).Sea X un conjunto y 2^X el conjunto de sus subconjuntos.Entonces tarjeta (X) < tarjeta (2 ^ X).

Prueba.Seguramente card(X) <= card(2^X), ya que existe una biyección trivial entre X y los singleton en 2^X.Debemos demostrar que tarjeta(X) != tarjeta(2^X).

Supongamos que hay una biyección entre X y 2^X.Luego, cada xk en X se asigna a un conjunto Ak en 2^X.

• x1 ---> A1
• x2 --->A2
• ...
• xk ---> Ak
• ...

Para cada xk las posibilidades son:O xk pertenece a Ak o no.Sea M el conjunto de todos aquellos xk que hacen no pertenecen a su conjunto correspondiente Ak.M es un subconjunto de X, por lo tanto debe existir un elemento m de X que se asigna a M mediante la biyección.

¿M pertenece a M?Si es así, entonces no es así, ya que M es el conjunto de aquellas x que lo hacen. no pertenecen al conjunto al que están asignados.Si no es así, entonces lo es, ya que M contiene todo tales x.Esta contradicción surge del supuesto de que existe una biyección.Por tanto, no puede existir una biyección, las dos cardinalidades son diferentes y el teorema está demostrado.