Il paradosso di Russell [chiuso]

Question

Sia X l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi.X è un membro di X?

Answer 1

In ZFC, o l'assioma di fondazione [come accennato] o l'assioma (schema) di comprensione lo proibiranno.Il primo, per ovvi motivi;la seconda, poiché in fondo lo dice per scontato z e proprietà del primo ordine P, puoi costruire { X ∈ z : P(X) }, ma per generare l'insieme di Russell avresti bisogno di z = V (la classe di tutti gli insiemi), che non è un insieme (cioènon può essere generato da nessuno degli assiomi dati).

In Nuove Fondazioni (NF), "X ∉ X" non è una formula stratificata, e quindi ancora una volta non possiamo definire l'insieme di Russell.In modo piuttosto divertente, tuttavia, V È un set-in NF.

Nella teoria degli insiemi di von Neumann--Bernays--Gödel (NBG), la classe R = { X : X è un insieme e X ∉ X } è definibile.Chiediamo allora se R ∈ R;se è così, allora anche R ∉ R, dando una contraddizione.Quindi dobbiamo avere R ∉ R.Ma qui non c'è contraddizione, poiché per ogni data classe UN, UN ∉ R implica neanche UN ∈ UN O UN è una classe adeguata.Da R ∉ R, dobbiamo semplicemente averlo R è una classe adeguata.

Naturalmente, la classe R = { X : X ∉ X }, senza la restrizione, semplicemente non è definibile in NBG.

Da notare anche che la procedura di cui sopra è formalmente costruibile come prova in NBG, mentre in ZFC bisogna ricorrere al meta-ragionamento.

Answer 2

La domanda è mal posta nella norma ZFC (Zermelo-Fraenkel + assioma della Scelta) teoria degli insiemi perché l'oggetto così definito non è un insieme.

Poiché (ancora, assumendo lo standard ZFC) your classe {X :x ot\in x} non è un insieme, la risposta diventa no, non è un elemento di se stesso (nemmeno come classe) poiché solo gli insiemi possono essere elementi di classi o insiemi.

A proposito, non appena accetti il assioma di fondazione, nessun insieme può essere elemento di se stesso.

Ovviamente la cosa bella della matematica è che puoi scegliere qualunque assioma tu voglia :) ma credere nei paradossi è semplicemente strano.

Answer 3

La dimostrazione più elegante che abbia mai visto ricorda da vicino il paradosso di Russell.

Teorema (Cantor, suppongo).Sia X un insieme e 2^X l'insieme dei suoi sottoinsiemi.Quindi carta(X) < carta(2^X).

Prova.Sicuramente card(X) <= card(2^X), poiché esiste una banale biiezione tra X e i singleton in 2^X.Dobbiamo dimostrare che carta(X) != carta(2^X).

Supponiamo che ci sia una biiezione tra X e 2^X.Quindi ogni xk in X è mappato su un insieme Ak in 2^X.

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• xk ---> Ak
• ...

Per ogni xk le probabilità sono:o xk appartiene ad Ak, oppure no.Sia M l'insieme di tutti gli xk che lo fanno non appartengono al loro insieme corrispondente Ak.M è un sottoinsieme di X, quindi deve esistere un elemento m di X che è mappato su M dalla biiezione.

M appartiene a M?Se lo fa, allora non lo fa, poiché M è l'insieme degli x che lo fanno non appartengono al set su cui sono mappati.Se non lo fa, allora lo fa, perché M contiene Tutto tali x.Questa contraddizione deriva dal presupposto che esista una biiezione.Quindi non può esistere una biiezione, le due cardinalità sono diverse, e il teorema è dimostrato.