罗素悖论[关闭]

Question

令 X 为所有不包含自身的集合的集合。X是X的成员吗？

Answer 1

在 ZFC, ，无论是基础公理[如上所述]还是理解公理（方案）都会禁止这样做。第一个，原因显而易见；第二个，因为它基本上是说对于给定的 z 和一阶性质 磷, ，你可以构造 { X ∈ z : 磷(X) }，但是要生成罗素集，您需要 z = V （所有集合的类），它不是一个集合（即不能从任何给定的公理生成）。

在新的基础上（核因子), "X ∉ X” 不是一个分层公式，因此我们再次无法定义罗素集。不过有点好笑的是， V 是 一组在 核因子.

在冯·诺依曼-伯奈斯-哥德尔集合论中（NBG）， 班上 右 = { X : X 是一个集合并且 X ∉ X } 是可定义的。然后我们问是否 右 ∈ 右;如果是这样，那么也 右 ∉ 右, ，给出矛盾。因此我们必须有 右 ∉ 右. 。但这里并不矛盾，因为对于任何给定的类 A, A ∉ 右 意味着 A ∈ A 或者 A 是一个适当的类。自从 右 ∉ 右, ，我们必须简单地拥有 右 是一个适当的类。

当然，班级 右 = { X : X ∉ X }，如果没有限制，根本无法定义在 NBG.

另外值得注意的是，上述过程可以形式化地构建为以下证明： NBG, ，而在 ZFC 人们必须诉诸元推理。

Answer 2

该问题在标准中不适定 ZFC （Zermelo-Fraenkel + 选择公理）集合论，因为这样定义的对象不是集合。

因为（再次假设标准 ZFC）你的 班级 {X ：x ot\in x} 不是集合，答案为否，它不是其自身的元素（即使作为类），因为只有集合可以是类或集合的元素。

顺便说一句，一旦您同意 基础公理, ，任何集合都不能成为其自身的元素。

当然，数学的好处是你可以选择你想要的任何公理:)，但相信悖论是很奇怪的。

Answer 3

我见过的最优雅的证明与罗素悖论非常相似。

定理 （我想是康托尔）。设 X 是一个集合，2^X 是其子集的集合。那么卡(X) < 卡(2^X)。

证明. 。当然，card(X) <= card(2^X)，因为 X 和 2^X 中的单例之间存在微不足道的双射。我们必须证明card(X)!=card(2^X)。

假设 X 和 2^X 之间存在双射。然后X中的每个xk被映射到2^X中的集合Ak。

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• xk ---> Ak
• ...

对于每个 xk 的机会是：xk 要么属于 Ak，要么不属于。设 M 为所有 xk 的集合 不是 属于它们对应的集合Ak。M是X的子集，因此必须存在X的元素m通过双射映射到M。

m 属于 M 吗？如果是，那么它就不是，因为 M 是那些 x 的集合 不是 属于它们映射到的集合。如果不存在，则存在，因为 M 包含 全部 这样的x。这个矛盾源于双射存在的假设。因此双射不存在，两个基数不同，定理得证。