Russells Paradoxon [geschlossen]

Question

Sei X die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten.Ist X ein Mitglied von X?

Answer 1

In ZFC, entweder das Axiom der Grundlage [wie erwähnt] oder das Axiom (Schema) des Verstehens wird dies verbieten.Das erste aus offensichtlichen Gründen;das zweite, da es im Grunde genommen heißt, dass dies eine Selbstverständlichkeit ist z und Eigentum erster Ordnung P, können Sie { konstruieren X ∈ z : P(X) }, aber um die Russell-Menge zu generieren, benötigen Sie z = V (die Klasse aller Mengen), die keine Menge ist (d. h.kann aus keinem der angegebenen Axiome generiert werden).

In Neugründungen (NF), "X ∉ X" ist keine geschichtete Formel, und daher können wir die Russell-Menge auch hier nicht definieren.Etwas amüsanterweise jedoch V Ist ein Satz in NF.

In der Mengenlehre von Neumann, Bernays und Gödel (NBG), die Klasse R = { X : X ist eine Menge und X ∉ X } ist definierbar.Wir fragen dann, ob R ∈ R;wenn ja, dann auch R ∉ R, was einen Widerspruch ergibt.Das müssen wir also haben R ∉ R.Aber hier gibt es keinen Widerspruch, denn für jede gegebene Klasse A, A ∉ R impliziert beides A ∈ A oder A ist eine richtige Klasse.Seit R ∉ R, das müssen wir einfach haben R ist eine richtige Klasse.

Natürlich die Klasse R = { X : X ∉ X } ist ohne die Einschränkung einfach nicht in definierbar NBG.

Bemerkenswert ist auch, dass das obige Verfahren formal als Beweis konstruierbar ist NBG, während in ZFC man muss auf Meta-Argumentation zurückgreifen.

Answer 2

Die Frage ist im Standard falsch gestellt ZFC (Zermelo-Fraenkel + Auswahlaxiom) Mengenlehre, da das so definierte Objekt keine Menge ist.

Da (wieder unter der Annahme von Standard-ZFC) Ihr Klasse {X :x ot\in x} keine Menge ist, lautet die Antwort: Nein, es ist kein Element seiner selbst (auch nicht als Klasse), da nur Mengen Elemente von Klassen oder Mengen sein können.

Übrigens, sobald Sie dem zustimmen Axiom der Gründung, keine Menge kann ein Element von sich selbst sein.

Das Schöne an der Mathematik ist natürlich, dass man sich die Axiome aussuchen kann, die man möchte :) Aber an Paradoxien zu glauben ist einfach seltsam.

Answer 3

Der eleganteste Beweis, den ich je gesehen habe, ähnelt stark Russells Paradoxon.

Satz (Kantor, nehme ich an).Sei X eine Menge und 2^X die Menge ihrer Teilmengen.Dann ist Karte(X) < Karte(2^X).

Nachweisen.Sicherlich ist Karte(X) <= Karte(2^X), da es eine triviale Bijektion zwischen X und den Singletons in 2^X gibt.Wir müssen beweisen, dass Karte(X) != Karte(2^X).

Angenommen, es gibt eine Bijektion zwischen X und 2^X.Dann wird jedes xk in X auf eine Menge Ak in 2^X abgebildet.

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• xk ---> Ak
• ...

Für jedes xk sind die Chancen:Entweder gehört xk zu Ak oder nicht.Sei M die Menge aller xk, die dies tun nicht gehören zu ihrer entsprechenden Menge Ak.M ist eine Teilmenge von X, daher muss es ein Element m von X geben, das durch die Bijektion auf M abgebildet wird.

Gehört m zu M?Wenn ja, dann nicht, denn M ist die Menge derjenigen x, die dies tun nicht gehören zu der Menge, der sie zugeordnet sind.Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist dies der Fall, denn M enthält alle solche x.Dieser Widerspruch ergibt sich aus der Annahme, dass eine Bijektion existiert.Eine Bijektion kann also nicht existieren, die beiden Kardinalitäten sind unterschiedlich und der Satz ist bewiesen.