题
令 X 为所有不包含自身的集合的集合。X是X的成员吗?
解决方案
在 ZFC, ,无论是基础公理[如上所述]还是理解公理(方案)都会禁止这样做。第一个,原因显而易见;第二个,因为它基本上是说对于给定的 z 和一阶性质 磷, ,你可以构造 { X ∈ z : 磷(X) },但是要生成罗素集,您需要 z = V (所有集合的类),它不是一个集合(即不能从任何给定的公理生成)。
在新的基础上(核因子), "X ∉ X” 不是一个分层公式,因此我们再次无法定义罗素集。不过有点好笑的是, V 是 一组在 核因子.
在冯·诺依曼-伯奈斯-哥德尔集合论中(NBG), 班上 右 = { X : X 是一个集合并且 X ∉ X } 是可定义的。然后我们问是否 右 ∈ 右;如果是这样,那么也 右 ∉ 右, ,给出矛盾。因此我们必须有 右 ∉ 右. 。但这里并不矛盾,因为对于任何给定的类 A, A ∉ 右 意味着 A ∈ A 或者 A 是一个适当的类。自从 右 ∉ 右, ,我们必须简单地拥有 右 是一个适当的类。
当然,班级 右 = { X : X ∉ X },如果没有限制,根本无法定义在 NBG.
另外值得注意的是,上述过程可以形式化地构建为以下证明: NBG, ,而在 ZFC 人们必须诉诸元推理。
其他提示
我见过的最优雅的证明与罗素悖论非常相似。
定理 (我想是康托尔)。设 X 是一个集合,2^X 是其子集的集合。那么卡(X) < 卡(2^X)。
证明. 。当然,card(X) <= card(2^X),因为 X 和 2^X 中的单例之间存在微不足道的双射。我们必须证明card(X)!=card(2^X)。
假设 X 和 2^X 之间存在双射。然后X中的每个xk被映射到2^X中的集合Ak。
- x1 ---> A1
- x2 ---> A2
- ...
- xk ---> Ak
- ...
对于每个 xk 的机会是:xk 要么属于 Ak,要么不属于。设 M 为所有 xk 的集合 不是 属于它们对应的集合Ak。M是X的子集,因此必须存在X的元素m通过双射映射到M。
m 属于 M 吗?如果是,那么它就不是,因为 M 是那些 x 的集合 不是 属于它们映射到的集合。如果不存在,则存在,因为 M 包含 全部 这样的x。这个矛盾源于双射存在的假设。因此双射不存在,两个基数不同,定理得证。