Ableitung von Produkttyp-Eliminator in der Typ-Theorie

Question

In Hott Book, Abschnitt 1.5 (Produkttypen), um die Eliminatoren für den Produkttyp zu definieren, wird eine Funktion des Typs $ G: A \ Rightarrow B \ Righarrow C $ übernommen und dann weiter, um die Eliminatorregel zu definieren, indem wir eine Funktion $ F definieren können: A \ MASE B \ Rightarrow C $ für alle so g von:

$ F (A, B)): \ Equiv g (a) (b) $ .

Dann gibt es an, dass

Beachten Sie, dass wir in der Set-Theorie die obige Definition von $ F $ rechtfertigen, dadurch, dass jedes Element des $ A \ times b $ ist ein bestelltes Paar, so dass er ausreicht, um $ F $ auf solchen Paaren definieren. Typische Theorie kehrt dagegen die Situation um: Wir gehen davon aus, dass eine Funktion auf $ A \ MASE B $ gut definiert ist, sobald wir seine Werte an Paaren angeben, und Daraus in der Lage, zu beweisen, dass jedes Element von $ A \ MASE B $ ein Paar ist.

Möchten Sie bitte detaillierter erklären, was der obige Absatz versucht, anzustichten?

Answer 1

Hier bedeutet, dass Sie eine Identifikation $ X= (\ MathSF {PR} _1 (x), \ mathsf {pr _2 _2 (x)) erstellen können für jeden $ x: a \ times b $ . Mit anderen Worten, Sie können $$ \ PI _ {(x: A \ MASSF {PR} _1 (\ mathsf {PR} _1 (x), \ mathsf {pr _1 _2 anzeigen (x)). $$ Um dies zu tun, verwenden wir das -Dinktionsprinzip von $ a \ times b $ . Durch das Induktionsprinzip reicht er aus, um zu zeigen, dass $$ \ PI _ {(A: a)} \ pi _ {(B: B)} (a, b)= (\ mathsf {pR } _1 (a, b), \ mathsf {pr} _2 (a, b)). $$ Jetzt beobachten Sie einfach, dass es nach der Definition der Projektionskarten Urteilsgleichungen gibt $ \ Mathsf {PR} _1 (a, b) \ Equiv A $ und $ \ Mathsf {PR} _2 (A, B) \ Equiv B $ . Daher reduziert der obige Typ auf $$ \ Pi _ {(A: a)} \ pi _ {(B: B)}} (A, B)= (A, B), $ $ was durch Reflexivität bewiesen werden kann.

Wir schließen daraus, dass jedes Element von $ A \ MACHE B $ mit ein Paar identifiziert werden kann, nämlich das Paar seiner eigenen Projektionen . Gleiches gilt für $ \ Sigma _ {(x: a)} b (x) $ .