Dérivation de l'éliminateur du type de produit dans la théorie de type

Question

dans le livre hott, section 1.5 (Types de produits) Pour définir les éliminateurs du type de produit, il suppose une fonction de type $ G: A \ Right B \ RightArrore C $ puis continule à définir la règle d'éliminator, disant que nous pouvons définir une fonction $ F: A \ fois b \ rightarrow C $ pour un tel g par:

$ f ((a, b)): \ Equiv g (a) (b) $ .

alors il indique que

Notez que dans la théorie de la définition, nous justifierions la définition ci-dessus de $ f $ par le fait que chaque élément de $ A \ fois B $ est une paire ordonnée, de sorte qu'il suffit de définir $ f $ sur ces paires. En revanche, la théorie de type inverse la situation: nous supposons qu'une fonction sur $ A \ fois b $ est bien définie dès que nous spécifions ses valeurs sur deux, et De là, nous pourrons prouver que chaque élément de $ a \ fois b $ est une paire.

Voulez-vous s'il vous plaît expliquer plus en détail ce que le paragraphe ci-dessus essaie d'indiquer?

Answer 1

Qu'est-ce que cela signifie ici, est que vous pouvez construire une identification $ x= (\ mathsf {pr} _1 (x), \ mathsf {pr} _2 (x)) $ pour n'importe quel $ x: A \ fois b $ . En d'autres termes, vous pouvez montrer $$ \ pi _ {(x: A \ fois b)} x= (\ mathsf {pr} _1 (x), \ mathsf {pr} _2 (x)). $$ Pour ce faire, nous utilisons le principe induction de $ A \ fois b $ . Par le principe d'induction, il suffit de montrer que $$ \ pi _ {(a: a)} \ pi _ {(B: B)} (A, B)= (\ mathsf {PR } _1 (A, B), \ mathsf {PR} _2 (A, B)). $$ Maintenant, vous remarquez simplement que par la définition des cartes de projection, il existe des égalités de jugement $ \ mathsf {pr} _1 (a, b) \ équivalez un $ et $ \ mathsf {PR} _2 (A, B) \ Equiv B $ . Par conséquent, le type ci-dessus réduit à $$ \ pi _ {(A: A)} \ pi _ {(B: B)} (A, B)= (A, B), $ $ qui peut être prouvé par réflexivité.

Nous concluons que chaque élément de $ A \ fois b $ peut être identifié avec une paire, à savoir la paire de ses propres projections . La même chose est vraie pour $ \ sigma _ {(x: a)} b (x) $ .