Derivazione del tipo di prodotto Eliminator in Tipo Teoria

Question

In Hott Book, Sezione 1.5 (Tipi di prodotto) Per definire gli eliminatori per il tipo di prodotto, presuppone una funzione di tipo $ G: A \ RightArdarrow B \ RightArrow C $ e poi continua a definire la regola di eliminazione, dicendo che possiamo definire una funzione $ f: A \ volte B \ RightArow C $ per qualsiasi G Di:

$ f ((a, b)): \ equiv g (a) (b) $ .

Allora afferma che

.

Nota che nella teoria impostata, giustificheremo la definizione di cui sopra della $ f $ dal fatto che ogni elemento di $ A \ Times B $ è una coppia ordinata, in modo che sia sufficiente definire $ f $ su tali coppie. Al contrario, il tipo teorie inverte la situazione: assumiamo che una funzione su $ A \ volte B $ è ben definito non appena specifichiamo i suoi valori su coppie e Da questo saremo in grado di dimostra che ogni elemento di $ A \ volte B $ è una coppia.

Vorresti per favore spiegare ulteriori dettagli quale il paragrafo precedente sta cercando di dichiarare?

Answer 1

Cosa si intende qui, è che puoi costruire un'identificazione $ x= (\ mathsf {pr} _1 (x), \ mathsf {pr} _2 (x)) $ per qualsiasi classe $ x: A \ volte B $ . In altre parole, puoi mostrare $$ \ pi _ {(x: a \ volte b)} x= (\ mathsf {pr} _1 (x), \ mathsf {pr} _2 (x)). $$ Per fare ciò, usiamo il principio di induzione di $ A \ volte B $ . Con il principio di induzione è sufficiente mostrare che $$ \ pi _ {(A: A)} \ PI _ {(B: B)} (A, B)= (\ MathSF {PR } _1 (A, B), \ MathSF {PR} _2 (A, B)). $$ Ora semplicemente osservi che dalla definizione delle mappe di proiezione, ci sono uguaglianze giudiziarie $ \ mathsf {PR} _1 (A, B) \ Equiv A $ e $ \ mathsf {PR} _2 (A, B) \ Equiv B $ . Pertanto, il tipo sopra riportato riduce a $$ \ PI _ {(A: A)} \ PI _ {(B: B)} (A, B)= (A, B), $ $ che può essere dimostrato dalla riflessività.

Concludiamo che ogni elemento di $ A \ volte B $ può essere identificato con una coppia, vale a dire la coppia delle proprie proiezioni . Lo stesso vale per $ \ Sigma _ {(x: a)} b (x) $ .