タイプ理論における製品タイプ除去者の導出

Question

Hott Book、セクション1.5（製品タイプ）製品タイプのエリミネータを定義するには、 $ G：A \ Rightarrow B \ Rightarrow C $の機能を想定しています。 を定義するために、除去者ルールを定義し、関数を定義できると言って、そのようなgに対して$ f：a \ riquid> c $

$ f（（a、b））：\ equiv g（a）（b）$ 。

それは

を述べる

セット理論では、のすべての要素によって、上記の $ f $ の上記の定義を正当化します。 $ A \ hids b $ は順序付けられたペアであるため、そのペアで $ f $ を定義するのに十分です。対照的に、タイプ理論は状況を反転させます。 $ a \ with-a \ with-span>の関数は、ペア上の値を指定するとすぐに明確に定義されています。このことから、 prove は、 $ a \ hyd> b $ のすべての要素がペアです。

上記の段落が述べようとしているのはさらに詳しく説明してくださいか？

Answer 1

ここで何を意味するのは、 $ x=（\ mathsf {pr} _1（x）、\ mathsf {pr} _2（x））$を作成できることです。 任意の $ x：a \ hids b $ 。言い換えれば、 $$ \ pi_ {（x：a \ times b）} x=（\ mathsf {pr} _1（x）、\ mathsf {pr} _2 （x））。$$ これを行うには、 $ a \ quey> b $ の誘導原理を使用します。誘導の原則によって、 $$ \ pi _ {（a：a）} \ pi_ {（b：b）}（a、b）=（\ mathsf {pr）を示すのに十分です。 _1（a、b）、\ mathsf {pr} _2（a、b））。$$ 今度は、投影マップの定義によって単に観察し、判断的な等度があります $ \ mathsf {pr} _1（a、b）\ quiv a $ と $ \ mathsf {pr} _2（a、b）\ quiv b $ 。したがって、上記の型は $$ \ pi _ {（a：a）}¥{（b：b）}（a、b）=（a、b）、$ $ これは反射性によって証明することができます。

$ a \ with-span>のすべての要素、ペア、すなわちそれ自身の予測のペアで識別されているであることを結論する。 $ \ sigma _ {（x）についても同じことが同じです。