Derivación del tipo de producto eliminador en teoría de tipo

Question

En el libro Hott, Sección 1.5 (Tipos de productos) Para definir los eliminadores para el tipo de producto, asume una función del tipo $ g: A \ rudowarrow b \ rudowarrow c $ y luego continúa para definir la regla del eliminador, diciendo que podemos definir una función $ f: A \ Times B \ Rudowarrow C $ para cualquier g por:

$ f ((a, b)): \ Equiv g (a) (b) $ .

entonces afirma que

Tenga en cuenta que en la teoría establecida, justificaríamos la definición anterior de $ f $ por el hecho de que cada elemento de $ A \ Times B $ es un par ordenado, de modo que basta con definir $ f $ en tales pares. Por el contrario, la teoría tipo invierte la situación: asumimos que una función en $ A \ veces B $ está bien definido tan pronto como especifiquemos sus valores en pares, y A partir de esto, podremos a probar que cada elemento de $ A \ veces B $ es un par.

¿Podría explicar con más detalle cuál es el párrafo anterior que intenta indicar?

Answer 1

Lo que se entiende aquí, es que puede construir una identificación $ x= (\ mathsf {pr} _1 (x), \ mathsf {pr} _2 (x)) $ para cualquier $ x: A \ veces B $ . En otras palabras, puede mostrar $$ \ pi _ {(x: a \ veces b)} x= (\ mathsf {pr} _1 (x), \ mathsf {pr} _2 (x)). $$ Para hacer esto, usamos el principio de inducción de $ A \ veces B $ . Por el principio de inducción, se basa en mostrar que $$ \ pi _ {(a: a)} \ pi _ {(b: b)} (a, b)= (\ mathsf {pr } _1 (a, b), \ mathsf {pr} _2 (a, b)). $$ Ahora, simplemente observa que, según la definición de los mapas de proyección, hay igualdad de juicio $ \ mathsf {pr} _1 (a, b) \ equivalida a $ y $ \ mathsf {PR} _2 (A, B) \ Equiv B $ . Por lo tanto, el tipo anterior se reduce a $$ \ pi _ {(a: a)} \ pi _ {(a, b)= (a, b), $ $ que puede ser probado por reflexividad.

Concluimos que cada elemento de $ A \ veces B $ puede ser identificado con un par, a saber, el par de sus propias proyecciones . Lo mismo es cierto para $ \ sigma _ {(x: a)} b (x) $ .