Warum muss keine Diagonalisierung erforderlich sein?

Question

Wenn wir unendliche Summen quantifizieren, tun wir dies also, indem wir das Limit als $ I $ in unendlich fortfahren.Zum Beispiel sehen wir uns $ \ lim_ {n \ Rightarrow \ Infty} \ Sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n $ , und dann sagen wir dasDies divergiert und hat keine Summe.

Wenn wir die Diagonalisierung machen, iterieren wir eine unendliche Liste, während wir jede Liste der Liste von einer natürlichen Zahl indexieren und dann über das Ergebnis sprechen.Warum können wir das tun, anstatt Grenzwerte aufrufen zu müssen?

auf dieselbe Weise wäre es in Ordnung, einen Wert für $ \ sum_ {n \ in \ mathbb {n}} n $ mit dem Wert zuzuweisenEine unendliche Reihenfolge?

Answer 1

Einige Diagonalisierungsargumente erfordern möglicherweise Grenzwerte, um in der Lage zu sein, alle alle die Details nageln können (z. B. wenn sie eine unendliche Summe beinhalten, oder eine unendliche Dezimalausgabe, die formal nur eine unendliche konvergente Summe von a ist bestimmte Art), aber sie erfordern im Allgemeinen keine Grenzen.

Das beliebteste Diagonalisierungsargument erweist sich, dass $ | \ mathbb {n} | \ neq | \ mathbb {r} | $ . Je nachdem, wie Sie dies gesehen haben, löst sich einige der Details möglicherweise an, um die Grenzwerte wegen der Art von $ \ Mathbb {R} $ . Schauen wir uns stattdessen ein entscheidendes Beispiel für die Diagonalisierung an:

theorem $ | \ mathbb {n} | \ neq | \ {0, 1 \} ^ \ mathbb {n} | $

wir nehmen $ \ {0, 1 \} ^ \ mathbb {n} $ , um die Menge aller unendlichen Sequenzen von Einsen und Nullen zu sein (Sie können auch Denken Sie daran als Funktionsraum $ \ Mathbb {n} \ to \ {0,1 \} $ ). So können wir beispielsweise die Sequenzen haben, die $ A= (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, \ CDs) $ so, dass < Span-Klasse="Math-Container"> $ A_ {2i}= 0 $ und $ A_ {2i + 1}= 1 $ . .

Da dies ein Diagonalisierungsargument ist, gehen wir über Widerspruch vor. Wir gehen zunächst an, dass es möglich ist, alle Elemente von $ \ {0, 1 \} ^ \ mathbb n $ über einige Funktion $ F $ , so dass für alle $ i \ geq 0 $ , $ f (i) $ $ ist eine unendliche Reihenfolge von 0s und 1s.

Wir erstellen eine explizite unendliche Sequenz, die nicht im Bild von $ F $ angezeigt wird, was beweist, dass keine solche $ F $ kann alle unendlichen Sequenzen von 0s und 1s aufzählen, was bedeutet, dass $ | \ mathbb n | \ neq | \ {0,1 \} ^ \ mathbb n | $ Wie gewünscht:

$$ a_i \ triangleq 1 - f (i) _i $$

Und jetzt können wir sofort mit dem Aufbau sehen, dass für jeden $ i \ geq 0 $ , $ a \ neq f (i) $ , seit if, wenn $ a= f (i) $ dann für alle $ k $ < / span>, $ a_k= f (i) _k $ , aber insbesondere für $ k= i $ Wir haben $ a_i= 1 - f (i) _i \ neq f (i) _i $ . $ \ BlackSquare $

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Diese Konstruktion beinhaltet eindeutig keine Grenzwerte - alle Objekte sind diskret. Der äquivalente vollständige Nachweis speziell für $ \ MathBB R $ könnte ein Limit oder einen (einfachen und automatischen) Konvergenznachweis für den Bau der reellen Zahl $ A $ , aber an diesem Schritt gibt es nichts Besonderes.