Distribución de cola pesada - Weibull [cerrado

Question

Sé que la distribución de Weibull exhibe un comportamiento de cola pesada subexponencial cuando el parámetro de forma es <1. Necesito demostrar esto utilizando la definición límite de una distribución de cola pesada:

para todos

¿Cómo incorporo la función de distribución acumulativa (CDF) o cualquier otra característica de la ecuación de la distribución de Weibull para demostrar que este límite se mantiene?

Answer 1

los CDF de la distribución de Weibull es 1 - exp(-(x/lambda)^k) = P(X <= x).

Asi que

P(X > x) = 1 - CDF = exp(-(x/lambda)^k),

y

lim exp(lambda * x) * P(X > x) = lim exp(lambda x) * exp( - (x/lambda)^k)
                               = lim exp(lambda x - x^k/lambda^k)

Ya que k<1, y x es grande y lambda>0, lambda x crece más rápido que x^k/lambda^k (El monomio con el mayor exponente gana). En otras palabras, el lambda x el término domina el x^k/lambda^k término. Asi que lambda x - x^k/lambda^k es grande y positivo.

Por lo tanto, el límite va al infinito.