Распределение тяжелого хвоста - Вейбулл [закрыто

Question

Я знаю, что распределение Weibull демонстрирует субэкспоненциальное поведение с тяжелым хвостом, когда параметр формы <1. Мне нужно продемонстрировать это, используя предельное определение тяжелого хвостового распределения:

для всех

Как включить функцию кумулятивного распределения (CDF) или любое другое уравнение, характерное для распределения Weibull, чтобы доказать, что этот предел содержит?

Answer 1

А CDF распределения Вейбулла является 1 - exp(-(x/lambda)^k) = P(X <= x).

Так

P(X > x) = 1 - CDF = exp(-(x/lambda)^k),

а также

lim exp(lambda * x) * P(X > x) = lim exp(lambda x) * exp( - (x/lambda)^k)
                               = lim exp(lambda x - x^k/lambda^k)

С k<1, и х большой, и lambda>0, lambda x растет значительно быстрее, чем x^k/lambda^k (Монома с большим показателем выигрывает). Другими словами, lambda x термин доминирует x^k/lambda^k срок. Так lambda x - x^k/lambda^k большой и положительный.

Таким образом, предел идет на бесконечность.