ラッセルのパラドックス [終了]

Question

X を、それ自体を含まないすべての集合の集合とする。XはXのメンバーですか?

Answer 1

で ZFC, 、基礎の公理（前述したように）または理解の公理（スキーム）のいずれかがこれを禁止します。1 つ目は明らかな理由からです。2 つ目は、基本的に所与のことを述べているため、 z そして一次特性 P, 、 { を構築できます。 バツ ∈ z : P(バツ) } ただし、ラッセル集合を生成するには、次のものが必要です。 z = V （すべてのセットのクラス）、セットではありません（つまり、与えられたどの公理からも生成することはできません)。

新しい基礎で (NF), "バツ ∉ バツ」は層別式ではないため、やはりラッセル集合を定義できません。ただ、ちょっと面白いことに、 V は セットイン NF.

フォン・ノイマン--バーナイズ--ゲーデル集合論(NBG）、 クラス R = { バツ : バツ セットであり、 バツ ∉ バツ } が定義可能です。次に、次のことを尋ねます。 R ∈ R;もしそうなら、また R ∉ R, 、矛盾を与えます。したがって、私たちは次のようにしなければなりません R ∉ R. 。しかし、どのクラスについても矛盾はありません。 あ, あ ∉ R どちらかを暗示します あ ∈ あ または あ は適切なクラスです。以来 R ∉ R, 、単純にそれを持たなければなりません R は適切なクラスです。

もちろんクラスも R = { バツ : バツ ∉ バツ } は、制限がなければ単純に定義できません。 NBG.

また、上記の手順は、次の式で証明として形式的に構築できることにも注意してください。 NBG, 、一方、 ZFC メタ推論に頼らなければなりません。

Answer 2

この質問は標準では不適切です ZFC (Zermelo-Fraenkel + 選択の公理) 集合理論は、このように定義されたオブジェクトが集合ではないためです。

(ここでも標準の ZFC を前提としています) クラス {バツ ：x ot\in x} がセットではない場合、答えは「いいえ」になります。クラスまたはセットの要素になれるのはセットだけであるため、それ自体 (クラスであっても) の要素ではありません。

ちなみに、同意していただくとすぐに、 基礎の公理, 、セット自体が要素になることはできません。

もちろん、数学の良いところは、好きな公理を選択できることです:) しかし、逆説を信じるのは奇妙です。

Answer 3

私がこれまで見た中で最もエレガントな証明は、ラッセルのパラドックスによく似ています。

定理 （カントールだと思います）。X を集合、2^X をその部分集合の集合とする。次に、カード(X) < カード(2^X) となります。

証拠. 。X と 2^X のシングルトンの間には簡単な全単射があるので、確かに Card(X) <= Card(2^X) です。カード(X) != カード(2^X) であることを証明しなければなりません。

X と 2^X の間に全単射があるとします。次に、X の各 xk が 2^X の集合 Ak にマッピングされます。

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• ×k ---> ああ
• ...

各 xk の確率は次のとおりです。xk は Ak に属するか、そうでないかのどちらかです。M を、実行するすべての xk の集合とします。 ない 対応する集合 Ak に属します。M は X の部分集合であるため、全単射によって M にマッピングされる X の要素 m が存在する必要があります。

mはMに属しますか?もしそうなら、そうではありません。なぜなら、M は、そうする x の集合だからです。 ない マップされているセットに属します。そうでない場合は、M には次の内容が含まれます。 全て このような×。この矛盾は、全単射が存在するという仮定から生じます。したがって、全単射は存在できず、2 つの基数は異なり、定理は証明されます。