러셀의 역설 [닫기]

Question

X를 자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합으로 설정합니다.X는 X의 멤버인가요?

Answer 1

~ 안에 ZFC, [언급된 바와 같이] 기초 공리 또는 이해 공리(도식)가 이를 금지합니다.첫 번째는 분명한 이유입니다.두 번째는 기본적으로 주어진 경우에 다음과 같이 말하기 때문입니다. 지 그리고 1차 속성 피, 당신은 { 엑스 ∈ 지 : 피(엑스) }, 그러나 Russell 세트를 생성하려면 다음이 필요합니다. 지 = V (모든 집합의 클래스), 이는 집합이 아닙니다(즉,주어진 공리 중 어느 것에서도 생성될 수 없습니다.)

새로운 기초에서 (NF), "엑스 ∉ 엑스"는 층화된 공식이 아니므로 다시 러셀 집합을 정의할 수 없습니다.그런데 좀 웃기게도, V ~이다 한 세트 NF.

폰 노이만-베르나이-괴델 집합론(NBG), 클래스 아르 자형 = { 엑스 : 엑스 세트이고 엑스 ∉ 엑스 } 정의 가능합니다.그런 다음 우리는 여부를 묻습니다. 아르 자형 ∈ 아르 자형;그렇다면 그것도 아르 자형 ∉ 아르 자형, 모순을 제공합니다.따라서 우리는 아르 자형 ∉ 아르 자형.그러나 여기에는 모순이 없습니다. 왜냐하면 어떤 특정 클래스에 대해서도 마찬가지이기 때문입니다. ㅏ, ㅏ ∉ 아르 자형 다음 중 하나를 의미합니다. ㅏ ∈ ㅏ 또는 ㅏ 적절한 수업이다.부터 아르 자형 ∉ 아르 자형, 우리는 그것을 가지고 있어야만 합니다 아르 자형 적절한 수업이다.

물론 수업은 아르 자형 = { 엑스 : 엑스 ∉ 엑스 }는 제한 없이 간단히 정의할 수 없습니다. NBG.

또한 주목할 점은 위의 절차가 공식적으로 증명으로 구성될 수 있다는 것입니다. NBG, 반면에 ZFC 메타 추론에 의지해야 합니다.

Answer 2

표준에서 문제가 잘못 제기되었습니다. ZFC (Zermelo-Fraenkel + 선택 공리) 집합론은 이렇게 정의된 객체가 집합이 아니기 때문입니다.

(다시 표준 ZFC를 가정하면) 수업 {x :x ot\in x}는 집합이 아니며 대답은 '아니요'가 됩니다. 집합만 클래스 또는 집합의 요소가 될 수 있으므로 자체 요소(클래스라고도 함)가 아닙니다.

그건 그렇고, 당신이 동의하자마자 기초의 공리, 어떤 집합도 그 자체의 요소가 될 수 없습니다.

물론 수학의 좋은 점은 원하는 공리를 선택할 수 있다는 것입니다 :) 하지만 역설을 믿는 것은 정말 이상합니다.

Answer 3

내가 본 가장 우아한 증명은 러셀의 역설과 매우 흡사합니다.

정리 (캔터인 것 같아요).X를 집합으로, 2^X를 부분 집합의 집합으로 둡니다.그러면 카드(X) < 카드(2^X)입니다.

증거.물론 X와 2^X의 싱글톤 사이에는 사소한 전단사가 있기 때문에 카드(X) <= 카드(2^X)입니다.우리는 카드(X) != 카드(2^X)를 증명해야 합니다.

X와 2^X 사이에 전단사가 있다고 가정합니다.그런 다음 X의 각 xk는 2^X의 Ak 집합에 매핑됩니다.

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• xk ---> 아크
• ...

각 xk에 대해 확률은 다음과 같습니다.xk는 Ak에 속하거나 그렇지 않습니다.M을 하는 모든 xk의 집합이라고 하자 ~ 아니다 해당 세트 Ak에 속합니다.M은 X의 부분 집합이므로 전단사에 의해 M에 매핑되는 X의 요소 m이 존재해야 합니다.

m은 M에 속해 있나요?그렇다면 그렇지 않습니다. 왜냐하면 M은 다음을 수행하는 x의 집합이기 때문입니다. ~ 아니다 매핑된 세트에 속합니다.그렇지 않다면 그렇습니다. 왜냐하면 M은 다음을 포함하기 때문입니다. 모두 그런 x.이 모순은 전단사가 존재한다는 가정에서 비롯됩니다.따라서 전단사는 존재할 수 없으며 두 카디널리티는 다르며 정리가 증명됩니다.