Derivação do eliminador do tipo de produto na teoria do tipo

Question

no livro hott, seção 1.5 (tipos de produto) Para definir os eliminadores para o tipo de produto, ele assume uma função do tipo $ g: a \ rightarrow b \ rightarrow c $ e, em seguida, vai para definir a regra do eliminador, dizendo que podemos definir uma função $ f: a \ vezes b \ rightarrow c $ para qualquer tal g Por:

$ f ((a, b)): \ equiv g (a) (b) $ .

Então afirma que

.

Observe que na teoria definida, justificaríamos a definição acima da $ F $ pelo fato de que cada elemento da $ A \ vezes b $ é um par encomendado, de modo que é suficiente para definir $ F $ em tais pares. Por outro lado, a teoria do tipo inverte a situação: assumimos que uma função na $ a \ vezes B $ é bem definido assim que especificarmos seus valores em pares e A partir disso, poderemos provar que cada elemento da $ a \ vezes b $ é um par.

Por favor, explicaria mais detalhadamente o que o parágrafo acima está tentando declarar?

Answer 1

O que se entende aqui, é que você pode construir uma identificação $ x= (\ mathsf {pr} _1 (x), \ mathsf {pr} _2 (x)) $ para qualquer $ x: a \ vezes b $ . Em outras palavras, você pode mostrar $$ \ pi _ {(x: a \ vezes b)} x= (\ mathsf {pr} _1 (x), \ mathsf {pr} _2 (x)). $$ Para fazer isso, usamos o princípio de indução de $ a \ vezes b $ . Pelo princípio de indução, é suficiente para mostrar que $$ \ pi _ {(A: a)} \ pi _ {(b: b)} (a, b)= (\ mathsf {pr } _1 (a, b), \ mathsf {pr} _2 (a, b)))). $$ Agora você simplesmente observa que, pela definição dos mapas de projeção, há igualdade de julgamento $ \ mathsf {pr} _1 (a, b) \ equiv um $ e $ \ mathsf {pr} _2 (a, b) \ equiv b $ . Portanto, o tipo acima reduz para $$ \ pi _ {(A: a)} \ pi _ {(b: b)} (a, b)= (a, b), $ $ que pode ser provado pela reflexividade.

concluímos que cada elemento de $ a \ vezes b $ pode ser identificado com um par, nomeadamente o par de suas próprias projeções . O mesmo é verdadeiro para $ \ sigma _ {(x: a)} b (x) $ .