O que os símbolos ∀ e ∃ significam no axioma de escolha?

Question

Na página Wikipedia para o axioma de escolha A seguinte declaração é dada:

$ (\ forall x ^ \ sigma) (\ existe y ^ \ tau) r (x, y) \ rightarrow (\ existe f ^ {\ sigma \ righttarrow \ tau}) (\ forall x ^ \ sigma) r (x, f (x)) $

A maior parte parece bastante simples, exceto pelos significados dos símbolos que se parecem com 180 graus girados 'E' e 'A'

Answer 1

Os símbolos são quantificadores.Eles vinculam um novo nome de variável às instruções lógicas simbólicas.∃ Lê como existe.∀ lê para todos, então a primeira parte da declaração seria lida como:

.

forall x (do tipo σ), existe um Y (do tipo τ) tal que ...

Answer 2

$ \ forall $ lê como "para todos", e $ \ existe $ lê como "existe". Então, em inglês temos

$$ \ texto {"if} \ underbrace {\ text {para todos $ x $}} _ {\ forall x ^ \ sigma} {} \ underbrace {} \ underbrace {}\ texto {existe um $ y $}}} {\ existe y ^ \ tau} \ text {com $ r (x, y) $,} \ underbrace {\ text {então}} \ \ to \ text}}underbrace {\ text {há uma função $ f $}} _ {\ existe f ^ {\ sigma \ to \ tau}} \ text {de modo que} \ underbrace {\ text {para todos $ x $}} _ {\ forall x ^ \ sigma} \ text {holds $ r (x, f (x)) $ ".} $$

Eu pulei sobre a $ \ sigma $ e $ \ tau $ superscripts, como eles indicam tipose não são de importância primordial aqui.