수학적 증명은 왜 그렇게 어려운가?

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29-09-2020
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문제

저는 전기 엔지니어이며 기계 학습으로 전환하려고 합니다.여러 기사에서 데이터 구조와 알고리즘을 배워야 하고, 그 전에 수학적 증명을 배워야 한다는 내용을 읽었습니다.MIT의 OCW에서 제공되는 자료를 사용하여 스스로 공부하기 시작했으며 유도 및 웰 오더링 등의 개념을 파악했습니다.

나는 아주 오랫동안 운동에 어려움을 겪었고 정말 답답했습니다.나는 이전에 본 모든 유형의 증명을 쉽게 처리할 수 있습니다(예:재발 문제의 증명을 본 후에 나는 그것을 증명하는 데 꽤 능숙해졌습니다.)나의 문제는 특이한 질문에 직면했을 때 시작됩니다.증명하는 방법을 배우기보다는 증명을 외우는 것 같은 느낌이 듭니다.

특이한 질문(예: 체커 타일 및 체스 타일 유형의 질문)을 볼 때마다 2시간 동안 쳐다볼 필요가 없도록 증명 기술을 향상시킬 수 있는 방법(또는 리소스)이 있습니까? 포기?

해결책

증명하는 방법을 배우기보다는 증명을 외우는 것 같은 느낌이 듭니다.

너 캔트 "증명하는 방법"을 배우십시오."증명"은 기계적인 과정이 아니라 오히려 창의적인 과정입니다. 꾸미다 주어진 문제를 해결하기 위한 새로운 기술.전문 수학자라면 주어진 명제를 증명하려고 평생을 바칠 수도 있지만 결코 성공하지 못할 수도 있습니다.

나는 이전에 본 모든 유형의 증명을 쉽게 처리할 수 있습니다(예:재발 질문의 증명을 본 후에는 그것을 증명하는 데 꽤 능숙해졌습니다.)내 문제는 내가 특이한 질문에 직면했을 때 시작됩니다.

그것은 정상입니다.모든 수학 "증명" 과정은 이전에 본 적이 없는 임의의 문제를 해결하는 방법을 가르치기 위해 설계되지 않았습니다(아무도, 심지어 최고의 수학 교수도 그렇게 할 수 없기 때문입니다).오히려 학습 목표는 다음과 같습니다.

증명을 "읽고" 정확성을 판단하는 방법을 알아보세요.
올바른 수학적 언어로 증명을 "작성"하는 방법을 알아보세요.
알려진 증명 "기법"과 이를 적용하는 방법에 대해 알아보세요.

알려지지 않은 새로운 문제를 해결하려고 한다면, 그 문제를 해결하지 못할 수도 있는 것이 정상입니다.하지만, 앎 다른 증명 기술을 암기하면 도움이 될 수 있습니다.종종 증명에는 새로운 아이디어를 기존의 알려진 증명 기술과 결합하는 작업이 포함됩니다.이미 알고 있는 증명이 더 많고 다양할수록 주어진 문제를 해결할 수 있는 가능성이 더 높아집니다.

당신은 올바른 길을 가고 있습니다.증명 기술을 계속해서 공부해야 합니다.당신이 하고 있는 운동은 좋습니다.막히더라도 걱정하지 마세요.경험이 많아지고 기술의 "도구 상자"가 커짐에 따라 이전에 본 연습 문제와 "유사한" 연습 문제를 풀 수 있게 됩니다.

다른 팁

다른 작가들이 언급했듯이, 부분적으로는 본질적으로 열심히 힘들 뿐이뿐만 아니라 부분적으로 증명이 을 가르치는 목적으로 작성되지 않았기 때문에 부분적으로대부분의 교과서에서.오히려 대부분의 증거는 일종의 도망가는 주장으로서 일종의 의무에서 작성됩니다.전혀 증거를 제시하지 않는 것은 받아 들일 수없는 것으로 간주되지만, 소진된 세부 사항에 쓰는 것은 독자가 숲에서 잃어버린 독자를 위험에 빠뜨릴뿐만 아니라 저자를 태우는 것입니다.따라서 대부분의 증거는 독자가 자신을 연결하기 위해서만 많은 점을 많이 남겨두고 탁월합니다.어떤 사람들은 이것이 도움이되는 운동을 발견하지만, 많은 독자들이 당신과 나와 같은 독자가 불필요하게 도전적인 수학을 만드는 것을 발견합니다.이것은 또한 대학에서 교실에서 교실 교육학이 교과서의 공백을 채울 수있는 도구로 전문 수학 학습을 위해 필수 불가결합니다.

G. Polya 's, 을 해결하는 방법을 확실히 추천 할 수 있습니다. 그것은 표준 클래식이며, 놓치지 않는 것이 아닙니다. 새로운 책 을 읽고 수행하는 방법은 다음과 같습니다. Daniel Solow가 더 접근 할 수있는 Daniel Solow의 수학적 사고 프로세스 소개

증명을 수행하는 모든 경우에는 인간을위한 부 자연스러운 입니다. 그것은 우리가 정상적으로 사용하지 않는다는 것을주의 깊게 생각하는 징계입니다. 우리는 우리 일과 삶을 살기 위해 많은 가정을하는 데 사용됩니다. 우리가 처음으로 정당화해야만한다면 우리는 침대에서 나올 수 없었습니다. 수학적 증거는 당신이 명확하고 모호하지 않게 보여줄 수있는 것만 가정을 멀리하고 삶을 둔다.

나는 삼각법 정체성에 대한 문제와 비슷한 문제를 해결했다. 알려진, 알려진 방법이있을 때 시작부터 끝까지 마무리로 가려고 쉽습니다. ID는 방향이 많이 감지되지 않고 알려지지 않은 방향으로 여러 단계를 요구할 수 있습니다. 논리적 방법은 상당히 제한되고 (책을 읽는 경우) 논리적 방법이 약간 쉽게 증명됩니다. 그것을 계속하십시오.

나는 톰의 대답을 좋아합니다 : 마법의 총알이 없지만 운동을 계속하고 점진적으로 당신은 더 나은 직감을 개발하고 문제를 공격하는 방법을 알게됩니다.

자원은 G. Polya의 책을 푸는 법을 알고 있습니다. Wikipedia 기사 멋지고 다소 상세한 개요를 제공합니다.기본적 으로이 책은 수학적 진술과 그 증명을 다루는 전략이나 방법을 제공합니다.

수학적 증거가 너무 어려워요? ... 나는 데이터 구조와 알고리즘을 배워야합니다

내 추측은 또한 큰 o 표기법으로 정량화 된 알고리즘의 공간과 시간 복잡성에 대해 배우고 싶습니다. 시간 복잡성, 특히 증거가 어려운 이유에 대한 힌트가 있습니다. 내가 당신에게 가장 길이 $ n $ 주어진 진술의 증거가 있다고 약속하면 어떻게 찾을 수 있습니까? 이론에서는 $ \ le n $ 을 찾을 때까지 모든 길이의 모든 증거를 통과 할 수 있습니다. "> $ o (ne ^ {cn}) $ ( $ n $ 의 읽기 시간을 포함 함). $ n $ 이 아니라면 우리의 목적을 위해 너무 비효율적입니다. 훨씬 더 좋은 알고리즘이있을 수 있지만, 아무도 특히 효율적인 일반적인 일반적인 것을 발견했습니다. 그래서 증명하는 것들이 "창조적 인"운동을 남아있는 이유입니다. 우리는 "우리는 의사 코드에서 어떤 것들을 어떻게 생각하는지 알지 못합니다.

체커 타일과 체스 타일과 같은 비정상적인 질문을 볼 때마다 나의 입증 기술을 향상시킬 수있는 방식 (또는 임의의 자원)이 있습니다. 나는 그들을 응시할 필요가 없습니다. 포기하기 2 시간 전에?

그러한 질문을 비정상적이라고 부르는 것은 아직 어떤 예제를 알 수 있습니다. 그것이 바로 문제의 핵심입니다. 당신이 그것을 보지 못했다면 당신의 경험에만 "특별한"것입니다. 기타 답변으로 더 많은 도구를 배우십시오. 바라기를 바랍니다. 그런 다음 문제가 어떤 것에 도움이되는지 알 수 있습니다. 당신의 선택을 선택하여 판단, 증명의 불변률의 사용은 당신이 일할 수있는 것입니다. 나는 당신의 큰 / 작은 o 표기법이 얼마나 좋은지 모르겠지만, 불평등이나 그들에 의존하는 것과 같은 결과를 증명하는 것이 종종 유용하기 때문에 다시 언급 할 것입니다. 제한 (적어도 $ \ varepsilon $ - $ \ 델타 $ 증명 ).

일부 증거는 번거롭지 않아야합니다. 다른 사람들은 더 쉽지만 저자가 더욱 우아한 방법으로 작성하는 것이 더 우아한 방법으로 나오지 않았습니다.간단한 증거로 나오는 것은 증거를 이해하는 것보다 더 어려워 지므로 많은 증거가 더 복잡해야합니다.

증거를 이해하는 방법은 일반적인 조언이 없습니다 (우아한 여부).시도 할 수있는 일부 기술은 명령문을 반증하는 것입니다.왜 증거가 작동합니까?증명을위한 전제 조건 중 하나를 남겨 낼 때 어떤 일이 일어날 것입니까?

이미 프로그래밍으로 꽤 편리한 경우, 대화 형 증거 조교 < / a> coq 또는 lean처럼. 증명 보조자는 건설적인 논리를 표현할 수있는 매우 풍부한 유형 시스템을 가진 프로그래밍 언어입니다. 이러한 종류의 언어는 프로그래밍 측에 프로그램과 유형과 수학 측면에 대한 제안과 증명 사이에 직접적인 유추가있는 개념에 대해 주로 작동합니다. (이것은 카레 하워드 아이 몬 맵핑 .) 이 줄에 정말로 흥미로운 프로젝트는 자연 번호 게임 . 이 게임은 증거 보조자 기울기 . 게임의 시작 부분에서는 산술의 Peano axiom 만 주어졌습니다. 0은 자연수입니다. 자연수의 후속자는 자연수이며 자연수의 후속자는 자체적으로 동일하지 않습니다. 선정 된 논리 및 유도의 일반적인 규칙을 사용할 수 있습니다. 게임의 목적은 추가, 곱셈 및 기본 번호 이론의 특성에 대한 엄격하고 공식적인 증거를 제시하는 것입니다.

증거 조수는 효과적으로 순수한 수학을하는 것으로 노력합니다. 그들은 당신을위한 규칙을 기억하고 실제로 실시간으로 피드백을주는 것입니다. 자기 공부를 통해 증명을 수행 할 때 기술을 향상시키는 방법을 찾고 있다면, 증거 조수가 훌륭한 도구라고 생각합니다. 그 위에는 컴퓨터 프로그램의 공식 검증으로 사용됩니다. 이는 흥미롭고 고용 할 수있는 전문화입니다.

나는 전기 기술자뿐만 아니라 수학자 훈련을 통해 수학자입니다. EE에서의 학부를 완료 한 후, 나는 수학으로 전환했고 마침내 그것으로 힘든 박사 학위를 얻었습니다. 나는 내가 특히 밝은 아이라고 말하지 않을 것이다. 그러나 나는 항상 수학을 쉽고 결과적으로 지루하게 발견했습니다. 그러나 아빠 덕분에, 아빠 덕분에, 심지어 매우 초기 나이 (약 8 ~ 9 명) 나는 학교보다 수학에 훨씬 더 많은 것이 있다는 것을 알고있었습니다. 그래서 나는 그것을 견뎌 냈습니다.

나는 또한 내 자부심이 수학에서 좋은 것으로부터 좋은 것으로부터 유래했다. (예, 나처럼 난파가 존재한다). 나는 아마도 아직 할 것이다.

나는 점진적으로 수학적이고 적은 수학을했기 때문에 고등학교를 마쳤으므로 나는 다소 무서워했다. 내 상황은 학부의 첫 번째 또는 2 학년 동안 당신과 매우 똑같을 것입니다. 그것은 내 자부심에 매우 나빴습니다. 그런 다음 나는 수학에서 나의 재교육을 시작했습니다. 주로 자체 연구와 또한 정기적 인 EE 커리큘럼을 희생시키는 데 참석 한 감사 과정을 통해. 어쨌든 ee, 나를 위해 케이크 걷는 것이 었습니다. 그러나 수학은 균열에 매우 어려운 너트를 입증했습니다.

나는 대학을 계속 지속하고, 수학 프로그램에 등록하고, 길고, 좌절스러운 투쟁이 내 박사 학위를 완료 한 후에는 수학 연구를 계속했습니다.

나는 당신이보고있는 수학의 어느 지역을 알지 못합니다. 그러나 나는 온라인 자원이나 게스트 강의를 수학으로 진입시키는 것을 제안하지 않을 것입니다. 그러한 것은 당신에게 이해의 환상을 제공합니다. 당신은 가 있습니다 은 책을 집어들 것입니다. 펜을 픽업 할 것입니다. 그리고 은 쓰기를 시작하기 위해 가 있습니다. 그리고 당신도 당신도 어려운 방법을 배울 것입니다, 만 어려운 방법. 당신이 어떤 것들을 토론 할 사람이 있다면, 위대한! 그렇지 않으면 불명확합니다.

시작하기 위해 누군가에게 이야기하기 위해 누군가와 이야기하여 당신에게 적합한 첫 번째 커플을 얻습니다. 휴식을 취할 수 있습니다.

나는 다른 사람이 이것을 언급하지 않고 믿을 수는 없지만, 적용된 기계 학습을 배우고 싶다면 당신은 아마도 그것을 과장하고 있습니다.선형 대수학 및 기본 컴퓨터 과학에서 칫솔질하는 것이 좋을 것입니다.Coursera에 대한 훌륭한 전문화가 있습니다. 특히 기계 학습 트랙을위한 기계 학습 및 수학 (비용이 있지만 각 과정 각각을 무료로 감사 할 수 있습니다.Andrew NG의 깊은 학습 전문화 (5 코스)도 환상적입니다.그런 다음 Kaggle에 가입하여 배우고있는 것을 적용하십시오.나는 개인적으로 엄격한 수학적 증거를 유도하는 방법을 알고 싶지만 아무도 생산에서 그렇게하는 것을 지불하는 것이 아닙니다.당신은 실제로 기계 학습을 공부하는 것이 좋습니다.

나는 연습에 오랫동안 어려움을 겪고 있었고 정말 실망 스럽습니다.이전에 본 모든 유형의 증거를 쉽게 처리 할 수 있습니다 (예 :재발 질문의 증거를 본 후에 나는 그들을 증명하는 데 능숙 해졌다).특이한 질문에 직면 할 때 문제가 시작됩니다.나는 증명하는 방법을 배우기보다는 증거를 암기하는 것처럼 느낍니다.

따라서 당신은 교정을 읽는 방법을 알고 있지만 이러한 교정이 어렵다는 것을 알게 됩니다.아마 몇 가지 관련성이 있을 것 같아요.

하나는 서로 다른 수학 교과서에서 요구하는 능력의 차이가 선형이 아니라 기하급수적이라는 것입니다.저는 "Advanced Y"라는 책보다 훨씬 어려운 "X 입문"이라는 책을 본 적이 있습니다.저자는 다양한 청중을 염두에 두고 있으며 이에 따라 난이도도 다릅니다.

둘째, 특정 영역의 개념과 증명에 더 익숙해지면 더 쉬워질 수도 있습니다.다른 답변 중 일부에서 알 수 있듯이, 증거에서는 저자가 의도한 청중에게 명백할 것이라고 생각하는 단계를 생략하는 경우가 많습니다.우리 중 누구도 2 더하기 2가 4라는 증거를 기대하지 않을 것입니다.한 독자가 완전히 신비하다고 생각하는 것들은 다음과 같습니다. $2+2=4$ 다른 독자들을 위해.그렇다고 해서 그 책이나 기사가 당신에게 적합하지 않다는 뜻은 아닙니다.누락된 단계를 잘 수행하면 주제에 대한 이해가 더 깊어지고, 그렇게 몇 번 하다 보면 어려웠던 일도 쉬워질 것입니다.(조금 너무 어려운 책 속의 증명은 마치 연습과 같습니다.)

셋째, 두 시간 동안 교정본을 쳐다보고 싶지 않다면 이해하지만, 그 기간 동안 많은 것을 배울 수 있을 것이라고 생각합니다.그 시간 동안 당신이 하는 일은 개념과 단계, 그리고 한 단계에서 다른 단계로 나아갈 수 있는 가능한 방법에 대한 다양한 해석을 통해 생각하고, 저자가 염두에 둔 가정이 무엇인지 생각하는 것입니다.그게 배움의 과정이고, 그렇게 하면 나중에 다른 일을 더 쉽게 이해하는 데 도움이 된다고 생각해요.

나는 나에게 익숙하지 않은 과목에 대해 독학을 많이 한다.때로는 한 주제에 대해 두세 권의 책을 사용합니다. 왜냐하면 한 책에서 빠진 내용이 다른 책에서 더 명확하게 설명될 것이기 때문입니다.때때로 나는 다른 주제에 관한 책을 읽어야 할 때가 있습니다. 왜냐하면 저자는 독자들이 모두 특정한 배경을 갖고 있을 것이라고 생각했지만 나는 그런 배경을 갖고 있지 않기 때문입니다.그렇다고 해서 반드시 다른 주제에 관한 책 전체를 읽었다는 의미는 아닙니다.가끔은 내가 정말로 이해하고 싶은 책을 이해할 수 있을 만큼만 읽는다.이는 나쁜 습관이 아닙니다.나는 배우고 싶지 않았지만 나중에 유용한 것으로 판명되는 것들을 배우게 됩니다.

(이 모든 것이 분명해 보일 수도 있지만 여기에 있는 일부 의견이 누군가에게 도움이 되기를 바랍니다.)

귀하의 문제는 일반적으로 논리적 추론에 대한 경험이 부족하다는 것 같습니다.이전에 본 증명을 적용하여 유사한 정리를 쉽게 증명할 수 있다는 사실은 증명을 이해하는 데 문제가 없음을 보여줍니다.그러나 나는 당신이 실제 수학적 추론에 필요한 요소인 1차 논리학을 제대로 배운 적이 없다고 생각합니다.FOL(나는 Fitch 스타일을 권장함)의 연역적 시스템을 배우면 완전히 새로운 수학 영역이라 할지라도 임의의 수학 영역을 다루는 것이 실제로 쉬워집니다.그러나 초기 비용은 새로운 프로그래밍 언어를 배우는 데 드는 노력의 대략 절반에 해당합니다.그래서 시도할지 말지 결정하는 것은 여러분의 몫입니다.

FOL을 배우는 것 외에도 실습을 위한 소스도 필요하며 이를 위해 저는 추천합니다. 증명하는 방법 다니엘 벨레만 지음.그것은 약간의 논리적 추론을 가르치고, 증명해야 할 깔끔하고 흥미로운 것들을 많이 제공합니다.

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