Вывод элиминатора типа продукта в теории типа

Question

в Hott Book, раздел 1.5 (типы продуктов), чтобы определить элиминаторы для типа продукта Предполагается, что функция типа $ G: A \ prightarrow b \ prightarrow c $ а затем продолжает определять правило элиминатора, говоря, что мы можем определить функцию $ f: a \ times b \ prightarrow c $ для любого такого g по:

$ f ((a, b)): \ equiv g (a) (b) $ .

Тогда он утверждает, что

Обратите внимание, что в теории Set, мы оправдываем вышеуказанное определение $ F $ тем, что каждый элемент $ A \ times b $ - это заказанная пара, так что достаточно определить $ f $ на таких парах. Напротив, теория типа меняет ситуацию: мы предполагаем, что функция на $ \ Times b $ хорошо определяется, как только мы указываем его значения на пары, а также От этого мы сможем доказывать , что каждый элемент $ \ times b $ - это пара.

Не могли бы вы объяснить еще более подробно, что вышеупомянутый абзац пытается указать?

Answer 1

Что здесь означает, что вы можете построить идентификацию $ x= (\ mathsf {pr} _1 (x), \ mathsf {pr} _2 (x)) $} для любого $ x: a \ times b $ . Другими словами, вы можете показать $$ \ pi _ {(x: \ times b)} x= (\ mathsf {pr} _1 (x), \ mathsf {pr} _2 (x)). $$ Чтобы сделать это, мы используем принцип индукции $ \ Times B $ . Принцип индукции достаточно показать, что $$ \ pi _ {(a: a)} \ pi _ {(b: b)} (a, b)= (\ mathsf {pr } _1 (a, b), \ mathsf {pr} _2 (a, b)). $$ Теперь вы просто наблюдаете, что по определению отображений проекции существуют судейские равенства $ \ mathsf {pr} _1 (a, b) \ equiv a $ и $ \ mathsf {pr} _2 (a, b) \ equiv b $ . Следовательно, вышеуказанный тип уменьшается до $$ \ pi _ {(a: a)} \ pi _ {(b: b)} (a, b)= (a, b), $ $ которые могут быть доказаны рефлексией.

Мы заключаем, что каждый элемент $ a \ times b $ может быть идентифицирован с парой , а именно пару собственных проекций Отказ То же самое верно для $ \ sigma _ {(x: a)} b (x) $ .