Парадокс Рассела [закрыт]

Question

Пусть X - множество всех множеств, которые не содержат самих себя.Является ли X членом X?

Answer 1

В ZFC аксиома основания [как уже упоминалось] или аксиома (схема) понимания будет запрещать это. Первый по понятным причинам; во-вторых, поскольку в основном говорится, что для заданного z и свойства первого порядка P вы можете создать { x & # 8712; z : P ( x )}, но для генерации набора Рассела вам понадобится z = V (класс всех множеств), который не является множеством (то есть не может быть сгенерирован ни из одной из данных аксиом).

В Новых фондах ( NF ) " x & # 8713; <Ет> х Quot &; не является стратифицированной формулой, и поэтому мы не можем определить множество Рассела. Однако довольно забавно, что V является набором в NF .

В фон Неймане - Бернейсе - G & # 246; теория множеств ( NBG ), класс R = { x : x - набор, а x & # 8713; x } можно определить. Затем мы спрашиваем, является ли R & # 8712; R ; если это так, то также R & # 8713; R , что дает противоречие. Таким образом, мы должны иметь R & # 8713; R . Но здесь нет противоречия, поскольку для любого заданного класса A , A & # 8713; R подразумевает либо A & # 8712; A или A - правильный класс. Поскольку R & # 8713; R , мы должны просто указать, что R - правильный класс.

Конечно, класс R = { x : x & # 8713; x } без ограничений просто невозможно определить в NBG .

Также следует отметить, что описанная выше процедура формально конструируется как доказательство в NBG , тогда как в ZFC приходится прибегать к мета-аргументации.

Answer 2

Вопрос некорректен в стандартном ZFC (Zermelo-Fraenkel + аксиома выбора) теория множеств, потому что таким образом определенный объект не является множеством.

Поскольку (опять-таки, при условии стандартного ZFC) ваш класс {x: x \ not \ in x} не является множеством, ответом становится «нет», это не элемент сам по себе (даже как класс), поскольку только наборы могут быть элементами классов или наборов.

Кстати, как только вы согласитесь с аксиомой основания , не установлено может быть элементом самого себя.

Конечно, в математике хорошо то, что вы можете выбрать любую аксиому, какую захотите :), но верить в парадоксы просто странно.

Answer 3

Самое элегантное доказательство, которое я когда-либо видел, очень напоминает парадокс Рассела.

Теорема (Кантор, я полагаю).Пусть X - множество, а 2^X - множество его подмножеств.Затем карточка (X) < карточка (2^X).

Доказательство.Конечно, карта (X) <= card(2 ^X), поскольку существует тривиальная биекция между X и одиночными элементами в 2 ^ X.Мы должны доказать, что card(X) != card(2^X).

Предположим, существует биекция между X и 2 ^ X.Затем каждый xk в X сопоставляется множеству Ak в 2^ X.

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• xk ---> Ак
• ...

Для каждого xk шансы равны:либо xk принадлежит Ak, либо нет.Пусть M - множество всех тех xk, которые делают нет принадлежат к их соответствующему набору Ak.M является подмножеством X, следовательно, должен существовать элемент m из X, который сопоставляется с M биекцией.

Принадлежит ли m M?Если это так, то это не так, ибо M - это множество тех x, которые делают нет принадлежат к набору, к которому они сопоставлены.Если это не так, то это так, поскольку M содержит ВСЕ такие крестики.Это противоречие проистекает из предположения о существовании биекции.Таким образом, биекции не может существовать, две мощности различны, и теорема доказана.