لماذا كشف X ^ {15} + x ^ {14} + 1 $ جميع الأخطاء على الأكثر 32768 بت بصرف النظر؟

Question

السؤال المرجعي من شبكة الكمبيوتر كتاب FOROZON. ابحث عن حالة المولد التالي المتعلق بأخيطين معزولين ومفردين. $$ X ^ {15} + x ^ {14} + 1 $ الإجابة معين: لا يمكن أن يقوم متعدد الحدود بتقسيم أي خطأ في النوع $ x ^ t + 1 $ إذا كان T أقل من 32،768.هذا يعنى أن Codeword مع خطتين معزولين بجوار بعضها البعض أو ما يصل إلى 32،768 بت بصرف النظر يمكن الكشف عنها بواسطة هذا المولد. يمكن للآخر الرجاء مساعدتي لماذا هذا صحيح ...؟أو حتى كيف يجب أن يكون لدي نهج عام لتحليل هذه الأسئلة ...؟ (آسف إذا كان هذا سخيفا للغاية، لكنني غير قادر على فهم كيفية عمل السبب ...!)

Answer 1

متعدد الحدود هو بدائية ، مما يعني أن ترتيب $ x $ modulo متعدد الحدود هو بالضبط $ 2 ^ ^ {15} -1 $ .على وجه الخصوص، $ x ^ a \n\ equiv 1 $ modulo متعدد الحدود لجميع $ 1 \ leq a \ leq 2 ^{15} -2 $ ، مما يعني أن تعلى متعدد الحدود لا تقسم $ x ^ a-1 $ لهذا النطاق من $ $ .

(هذا يعني أيضا أن تعويص متعدد الأصناف يجب أن تقسم $ x ^ ^ {15} {15} -1} -1 $ ، على عكس ما يدعي المسألة.)