Почему $ x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $ определяет все ошибки не более 32768 битов друг от друга?

Question

Справочный вопрос от компьютерной сети BOOROUZON Книга. Найдите статус следующего генератора, связанного с двумя изолированными однотоковыми ошибками. $$ x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $$ <Сильный> Ответ Дано: Этот полиномиал не может разделить любую ошибку типа $ x ^ t + 1 $ Если t составляет менее 32,768.Это означает что кодовое слово с двумя изолированными ошибками, которые находятся рядом друг с другом или до 32 768 битов Таким генератором можно обнаружить. Может кто-нибудь, пожалуйста, помогите мне, почему это правда ...?Или даже как я должен иметь вообще подход к анализу таких вопросов ...? (Извините, если это очень глупо, но я не могу получить понять, как работает причина ...!)

Answer 1

Ваш полиномиальный - Примитивная , что означает, что порядок $ x $ Модуло Ваш полиномиал - это ровно $ 2 ^ {15} -1 $ .В частности, $ x ^ a \ not \ equiv 1 $ модуль Ваш многочлен для всех $ 1 \ leq a \ leq 2 ^{15} -2 $ , что означает, что ваш полиномиальный не разделяет $ x ^ a-1 $ для этого диапазона $ a $ .

(это также означает, что ваш полиномиальный должен разделить $ x ^ {2 ^ {15} -1} -1 $ , в отличие от того, каковы утверждают вопрос.)