为什么$ x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $检测到最多32768比特的所有错误分开？

Question

Forouzon书籍计算机网络的参考问题。 找到与孤立的两个单位错误相关的以下生成器的状态。 $$ x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $$ 答案给定： 如果T小于32,768，则该多项式不能划分 $ x ^ t + 1 $ 的任何错误。这表示 那个具有两个孤立错误的码字，彼此旁边或最多32,768位 除此发电机可以检测到分开。 可以有人帮我帮助我为什么这真的......？或者甚至如何有一般方法来分析这些问题......？ （对不起，如果这是非常愚蠢的，但我无法掌握原因如何工作......！）

Answer 1

你的多项式是原始，这意味着 $ x $ modulo您的多项式正好是 $ 2 ^ {15} -1 $ 。特别是 $ x ^ a \ not \ secif 1 $ modulo您的多项式对于所有 $ 1 \ leq a \ leq 2 ^{15} -2 $ ，这意味着您的多项式不会划分 $ x ^ a-1 $ 为此范围的 $ a $ 。

（这也意味着您的多项式应该划分 $ x ^ {2 ^ {15} -1} -1 $ ，与问题声明相反。）