¿Por qué $ x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $ detectar todos los errores a la mayoría de los 32768 bits?

Question

PREGUNTA DE REFERENCIA DE LA RED PERSONA DE LIBROS FOROUZON. Encuentre el estado del siguiente generador relacionado con dos errores aislados, de un solo bit. $$ x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $$ respuesta dada: Este polinomio no puede dividir ningún error de tipo $ x ^ t + 1 $ si T es menor que 32,768.Esto significa que una palabra de código con dos errores aislados que se encuentren uno al lado del otro o hasta 32,768 bits Aparte puede ser detectado por este generador. ¿Alguien puede ayudarme por favor, por qué es esto verdadero ...?¿O incluso cómo debo tener un enfoque general para analizar tales preguntas ...? (Lo siento, si esto es muy tonto, pero no puedo obtener una comprensión de cómo funciona la razón ...!)

Answer 1

Su polinomio es primitiva , lo que significa que el orden de $ x $ Modulo Su polinomio es exactamente $ 2 ^ {15} -1 $ .En particular, $ x ^ a \ no \ equiv. 1 $ modulo su polinomio para todos $ 1 \ leq a \ leq 2 ^{15} -2 $ , lo que significa que su polinomial no divide $ x ^ a-1 $ para este rango de $ A $ .

(Esto también significa que su polinomio debe dividir $ x ^ {2 ^ {15} -1} -1 $ , en contraste con lo que afirma la pregunta.)