Por que $ x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $ detectar todos os erros no máximo 32768 bits de distância?

Question

Pergunta de referência da rede de computadores do Forouzon Book. Encontre o status do gerador a seguir relacionado a dois erros de bits isolados. $$ x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $$ Resposta Dado: Este polinomial não pode dividir qualquer erro do tipo $ x ^ t + 1 $ se t for inferior a 32.768.Isso significa que uma palavra de código com dois erros isolados que estão próximos uns dos outros ou até 32.768 bits Apart pode ser detectado por este gerador. Alguém pode me ajudar por que isso é verdade ...?Ou mesmo como devo ter uma abordagem geral para analisar essas questões ...? (Desculpe se isso é muito bobo, mas não posso obter uma compreensão de como a razão funciona ...!)

Answer 1

o seu polinomial é primitivo , o que significa que a ordem de $ x $ Modulo Seu polinômio é exatamente $ 2 ^ {15} -1 $ .Em particular, $ x ^ a \ não \ equiv 1 $ modulo seu polinômio para todos $ 1 \ leq a \ leq 2 ^{15} -2 $ , o que significa que o seu polinomial não divide $ x ^ a-1 $ para este intervalo de $ a $ .

(isso também significa que o seu polinomial deve dividir $ x ^ {2 ^ {15} -1} -1 $ , em contraste com o que a questão afirma.)