$ x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $はなぜ32768ビットのすべてのエラーを検出しますか？

Question

フォーソーンブックコンピュータネットワークからの参照質問。 2つの分離されたシングルビットエラーに関連する次の生成器のステータスを見つけます。 $$ x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $$ 回答与えられた type $ x ^ t + 1 $ の誤差を32,768未満の場合は誤差を分割できません。これの意味は 互いの隣にある2つの孤立したエラーを持つコードワードまたは最大32,768ビット この発電機では離れて検出できます。 これは本当のためになぜ私を助けてください。それとも、このような質問を分析するための一般的なアプローチがどのようにしていますか。 （これが非常に愚かなのであれば申し訳ありませんが、私は理由がどのように機能するかを把握できません...！）

Answer 1

あなたの多項式はプリミティブ、つまり $ x $ moduloあなたの多項式は正確に $ 2 ^ {15} -1 $ です。特に、 $ x ^ a \ not \ queiv 1 $ moduloすべての $ 1 \ leq a \ leq 2 ^{15} -2 $ 。これは、この $ x ^ a-1 $ を分割しないことを意味します。Math-Container "> $ A $ 。

（多項式が $ x ^ {2 ^ {15} -1} -1 $ を分割する必要があることを意味します。）