تفسد المساواة، وسلامة التعبيرات التي تنطوي على الحساب الأولية والترويضة

Question

دعونا لدينا تعبيرات تتكون من عناصر $ \ mathbb n $ ومجموعة محدودة من العمليات الثنائية { $ +، \ مرات، -، /، / $ } ووظائف { $ \ exp، \ ln $ }. تعمل التعبيرات دائما بشكل جيد وشكل أشجار محدودة، مع أرقام كعقد ومشغلين للأوراق كعاملات داخلية وعمليات ثنائية لها تعبيرات فرعية وطفلين ووظائفها واحدة. يتم تفسير قيمة مثل هذا التعبير ليعني بعض العدد في $ \ mathbb r $ .

هناك قيودان على هيكل التعبيرات: المقسوم (التعبير الفرعي الأيمن) من $ / $ لا يمكن أن يكون 0 و يجب أن تكون حجة $ \ LN $ إيجابية.

لدي سؤالان حول هذا النوع من التعبيرات:

• هل من الممكن ضمان "سلامة" مثل هذا التعبير، بمعنى أن القيود التي يمكن التحقق منها في وقت محدد؟

• هو التحقق من المساواة بين تعبيرين من هذا القبيل مرسوم؟

يبدو أن هذه الأسئلة مرتبطة بمعنى أنه إذا كنت قادرا على التحقق من المساواة في التعبير الفرعي ذات الصلة إلى الصفر، فيمكنك أن تقرر ما إذا كان التعبير الأم القسمة صوتي، ولا يبدو أنه من الصعب التحقق منه سواء كان التعبير الفرعي من $ \ LN $ إيجابي أو سلبي إذا كان معروفا ألا يكون ذلك صفرا.

أعرف أن المساواة في $ \ mathbb r $ غير صالحة عموما، في حين أن المساواة في أرقام الجبرية هي. ومع ذلك، أتساءل كيف تضمين { $ \ exp، \ ln $ } يغير النتيجة. أظن أنه إذا كان هناك "حالات مرضية" عندما يكون التعبيرات ذات الهيكل المختلفة بشكل كبير نتيجة نفس العدد الحقيقي، إلا أن التحقق من المساواة بينها قد يكون غير قابل للتعديل، حيث أن $ \ EXP $ < / تمتد> و $ \ LN $ قد تعيق تطبيع هذه التعبيرات.

(ملاحظة جانبية: نشرت نسخة سابقة من سؤال مع نية مماثلة هنا ، لكنها تحولت إلى التفكير القليل وراء ذلك، وكان لا لزوم لها (= غير مرتبط بحوم السؤال) مضاعفات اللوغاريتمي المعقدة.)

Answer 1

أنا لا أعرف، لكنني أظن أنه سؤال مفتوح.

إذا كانت نظرية الحقائق ذات الدالة الأسية حلول، ثم مشكلتك حلول جدا، أيضا. من المعروف أنه إذا حافظت تخمين ShaNuel، فإن السابق أمر مثير للاستحقاق، لذلك مشكلتك أيضا.

إذا فهمت بشكل صحيح، فإن الورقة التالية تعالج مشكلتك:

p> مشكلة الهوية للوظائف والثوابت الأولية . دان ريتشاردسون، جون فيتش. ISSAC '94.

يبدو أنها تظهر إجراء ينتهي دائما إذا حافظت تخمين ShaNuel؛ وإذا لم ينهي تعبيرا خاصا، فيمكننا استخراجها من هذا التعبير مثال مضاد للتخمين ShaNuel. ثم يجادلون أنه يبدو أنه من غير المرجح أن نجد مضلما مضادا في أي وقت قريب، لذلك يبدو من غير المرجح أن نجد المدخلات التي يفشل فيها هذا الإجراء في إنهاء أي وقت قريب.

انظر أيضا https://mathoverflow.net/q/118972/37212 و https://mathoverflow.net/q/129563/37212 و https://mathoverflow.net/q/145299/37212 .