Diticulture de l'égalité et de la solidité des expressions impliquant des arithmétiques élémentaires et des exponentielles

Question

Avoir des expressions composées d'éléments de $ \ mathbb n $ et un ensemble limité d'opérations binaires { $ +, \ fois, -, / $ } et fonctions { $ \ exp, \ ln $ }. Les expressions sont toujours bien formées et forment des arbres finis, avec des nombres tels que des nœuds de feuilles et des opérateurs en tant que nœuds internes, des opérations binaires ayant deux sous-expressions d'enfants et les fonctions une. Une valeur d'une telle expression est interprétée pour signifier un nombre de nombres dans $ \ mathbb r $ .

Il existe deux limitations sur la structure des expressions: le diviseur (la sous-expression de droite) de $ / $ ne peut pas être 0 et le argument de $ \ ln $ doit être positif.

J'ai deux questions sur ce type d'expressions:

• est-il possible d'assurer une "solidité" d'une telle expression, dans le sens où les deux limitations peuvent être vérifiées en temps fini?

• est un chèque d'égalité entre deux expressions de telles expressions enrichibles?

Ces questions semblent être connectées en ce sens que si vous êtes capable de vérifier l'égalité de la sous-expression correspondante à zéro, vous pouvez décider si une expression parent de la division est sonore et qu'il ne semble pas difficile de vérifier Si une sous-expression de $ \ ln $ est positive ou négative si elle est connue de ne pas être nulle.

Je sais que l'égalité dans $ \ mathbb r $ n'est généralement pas décritable, alors que l'égalité des nombres algébriques est. Cependant, je me demande comment inclusion de { $ \ exp, \ ln $ } change le résultat. Je soupçonne que s'il existe des "cas pathologiques", où deux expressions avec une structure dramatiquement différente entraînent le même nombre réel, la vérification de l'égalité entre eux pourrait être indéchoire, comme le $ \ EXP $ < / span> et $ \ ln $ pourrait entraver la normalisation de telles expressions.

(une note latérale: j'ai posté une version antérieure d'une question avec une intention similaire ici , mais il s'est avéré d'avoir trop peu pensé derrière cela et n'avait pas été nécessaire (= non lié à la viande de la question) Complications avec des logarithmes complexes.)

Answer 1

Je ne sais pas, mais je soupçonne que c'est une question ouverte.

Si le La théorie des réelles avec une fonction exponentielle est décrite, puis votre problème est décidable aussi. On sait que si la conjecture de Shanuel tient, alors le premier est décidable, votre problème est donc aussi.

Si je comprends correctement, le papier suivant s'attaque à votre problème:

Le problème d'identité des fonctions élémentaires et des constantes . Dan Richardson, John Fitch. Issac '94.

Il semble qu'ils montrent une procédure qui se termine toujours si la conjecture de Shanuel tient; Et s'il ne se termine pas pour une expression particulière, nous pouvons alors extraire de cette expression un contre-exemple à la conjecture de Shanuel. Ils soutiennent ensuite qu'il semble peu probable que nous trouvions un contre-exemple à tout moment, il semble donc peu probable que nous trouvions des intrants sur lesquels cette procédure ne résout pas de temps à tout moment.

Voir aussi https://mathoverflow.net/q/118972/37212 et Https://mathoverflow.net/q/129563/37212 et https://mathoverflow.net/q/145299/37212 .