Entwässerlichkeit der Gleichheit und der Gläubigkeit der Ausdrücke mit elementarer Arithmetik und Exponentials

Question

Lassen Sie uns Ausdrücke haben, die aus Elementen von $ \ Mathbb N $ und einem begrenzten Satz von binären Operationen zusammengesetzt sind { $ +, \ mal, -, / $ } und Funktionen { $ \ exp, \ ln $ }. Die Ausdrücke sind immer gut ausgebildet und bilden endliche Bäume, mit Zahlen als Blattknoten und Bediener als interne Knoten, binäre Operationen mit zwei untergeordneten Unterausdrücken und den Funktionen eins. Ein Wert eines solchen Ausdrucks wird interpretiert, um einige Nummer in $ \ MathBB R $ zu bedeuten.

Es gibt zwei Einschränkungen für die Struktur der Ausdrücke: Der Divisor (der rechte Unterausdruck) von $ / $ kann nicht 0 sein und das Argument von $ \ ln $ muss positiv sein.

Ich habe zwei Fragen zu dieser Art von Ausdrücke:

• ist es möglich, "Solidität" eines solchen Ausdrucks sicherzustellen, in dem Sinne, dass die beiden Einschränkungen in endlicher Zeit überprüft werden können?

• ist eine Gleichstellungsprüfung zwischen zwei solcher Ausdrücke enttäuschbar?

Diese Fragen scheinen in dem Sinne angeschlossen zu sein, dass Sie, wenn Sie die Gleichheit des relevanten Unterausdrucks auf Null überprüfen können, entscheiden, ob ein Division-Eltern-Ausdruck sound ist, und es scheint nicht schwer zu prüfen Ob ein Unterdruck von $ \ ln $ positiv oder negativ ist, wenn es bekannt ist, dass es nicht null ist.

Ich weiß, dass die Gleichheit in $ \ MathBB R $ im Allgemeinen nicht entgreift ist, während Gleichheit in algebraischen Zahlen ist. Ich frage mich jedoch, wie ein Inklusion von { $ \ exp, \ ln $ } das Ergebnis ändert. Ich vermute, dass, wenn es "pathologische Fälle" existiert, in denen zwei Ausdrücke mit drastisch unterschiedlicher Struktur auf dieselbe reelle Zahl ergeben, die Gleichstellung zwischen ihnen überprüft, da der $ \ EXP $ < / span> und $ \ ln $ könnte die Normalisierung solcher Ausdrücke behindern.

(eine Seite Hinweis: Ich habe eine frühere Version einer Frage mit ähnlicher Absicht hier , aber es stellte sich heraus, sich zu wenig dachte dahinter zu haben, und hatte unnötig (= nicht mit dem Fleisch der Frage) Komplikationen mit komplexen Logarithmen.)

Answer 1

Ich weiß nicht, aber ich vermute, dass es eine offene Frage ist.

Wenn der Theorie der Reals mit exponentialer Funktion ist entschieden, dann Ihr Problem ist auch entschieden. Es ist bekannt, dass, wenn Shanuels Vermutung hält, dann der erstere enttäuschbar ist, so dass auch Ihr Problem auch ist.

Wenn ich richtig verstehe, tackt das folgende Papier Ihr Problem:

das Identitätsproblem für Elementarfunktionen und Konstanten . Dan Richardson, John Fitch. Issac '94.

Es scheint, dass sie ein Verfahren zeigen, das immer endet, wenn Shanuels Vermutung hält; Und wenn es nicht für einen bestimmten Ausdruck endet, können wir aus diesem Ausdruck ein Gegenbeispiel nach Shanuels Vermutung extrahieren. Sie argumentieren dann, dass es unwahrscheinlich erscheint, dass wir bald ein Gegenbeispiel finden werden, daher erscheint wir unwahrscheinlich, dass wir Inputs finden, auf denen dieses Verfahren keine bald künftig kündigen kann.

Siehe auch https://mathinflow.net/q/118972/37212 und Https://mathinflow.net/q/129563/37212 und https://mathinflow.net/q/145299/37212 .