Разместимость равенства и звукости выражений с участием элементарных арифметических и экспонентов

Question

Давайте указываем выражения, состоят из элементов $ \ mathbb n $ и ограниченный набор двоичных операций { $ +, \ Times, - / $ } и функции { $ \ exp, \ ln $ }. Выражения всегда хорошо сформированы и формируют конечные деревья, с номерами в виде узлов листа и операторами в качестве внутренних узлов, двоичные операции, имеющие два дочерних подражения и функции. Значение такого выражения интерпретируется, чтобы означать некоторое число в $ \ mathbb r $ .

Существует два ограничения в структуре выражений: делитель (правая подрыв) $ / $ не может быть 0 и Аргумент $ \ ln $ должен быть положительным.

У меня есть два вопроса об этих выражениях:

.

• Можно ли обеспечить «надежность» такого выражения, в том смысле, что два ограничения могут быть проверены в конечном времени?

• - это равенство между двумя такими выражениями, удаленными?

Эти вопросы, по-видимому, связаны в том смысле, что если вы можете проверить равенство соответствующего подсигулирования на ноль, вы можете решить, является ли родительское выражение дивизии, и это не кажется трудно проверить Независимо от того, будь то поддиражение $ \ ln $ положительный или отрицательный, если известно не ноль.

Я знаю, что равенство в $ \ mathbb r $ , как правило, не является решительным, тогда как равенство в алгебраических числах. Тем не менее, мне интересно, насколько включение { $ \ exp, \ ln $ } изменяет результат. Я подозреваю, что если существует «патологические случаи», где два выражения, имеющие резко разные структуру, приводят к тому же реальному числу, проверка равенства между ними может быть неразрешена, поскольку $ \ exp $ < / span> и $ \ ln $ может помешать нормализации таких выражений.

(сбоку Примечание: я опубликовал более раннюю версию вопроса с аналогичным намерением здесь , но оказалось слишком мало мысли за ним, и ненужно (= не связано с мясом вопроса) осложнения со сложными логарифми.)

Answer 1

Я не знаю, но я подозреваю, что это открытый вопрос.

Если Теория реальных с экспоненциальной функцией является решительной, затем ваша проблема является исключимым тоже. Известно, что если удерживается гипотеза Шануэля, то первое является разрешенным, поэтому ваша проблема тоже.

Если я правильно понимаю, следующая бумага решает вашу проблему:

Проблема идентичности для элементарных функций и констант . Дэн Ричардсон, Джон Фитч. Issac '94.

Похоже, что они показывают процедуру, которая всегда прекращается, если удерживает гипотеза Шануэля; И если он не расторгнет для конкретного выражения, то мы можем извлечь из этого выражения контрпример к гипотезе Шануэля. Затем они утверждают, что кажется, что в ближайшее время мы скоро найдем контрпример, поэтому кажется, что в ближайшее время мы найдем входы, на которых эта процедура не завершается в ближайшее время.

См. Также https://mathoverflow.net/q/118972/37212 и http://mathoverflow.net/q/129563/37212 и https://mathoverflow.net/q/145299/37212 .