涉及基本算术和指数的表达的平等性和声音的可辨icis

Question

让我们有表达式由 $ \ mathbb n $ 和一组有限的二进制操作组成{ $ +，\ times， - / $ }和函数{ $ \ exp，\ ln $ }。表达式始终形成良好，形成有限的树木，作为叶节点和运算符作为内部节点，二进制操作具有两个子表达式和功能。这种表达式的值被解释为表示 $ \ mathbb r $ 中的某些数字。

表达式的结构有两个限制： $ / $ 的除数（右侧子表达式）不能为0和 $ \ ln $ 必须是正的。

我有两个关于这些表达式的两个问题：

• 是可以确保这种表达的“声音”，意义上是可以在有限时间内检查两个限制？

• 是两个这样的表达之间的平等检查可判定？

这些问题似乎在某种意义上是连接的，如果您能够检查相关子表达式的平等为零，则可以决定分割父表达是否为声音，并且似乎难以检查如果 $ \ ln $ 是正的或负的子表达式，如果它已知不为零，则为正或负。

我知道 $ \ mathbb r $ 中的平等通常不可解除，而代数数字的平等是。但是，我想知道如何包含{ $ \ exp，\ ln $ }更改结果。我怀疑如果存在“病理情况”，其中两个表达式的结构与相同的实数发生了相同的实数，检查它们之间的平等可能是不可识别的，因为<跨度类=“math-container”> $ \ exp $ < / span>和 $ \ ln $ 可能会妨碍此类表达式的归一化。

（一个侧面注意：我发布了一个早期版本的一个问题在这里，但事实证明，它背后太少了，并且不必要的（=与问题的肉类无关）复杂对数的并发症。）

Answer 1

我不知道，但我怀疑这是一个开放的问题。

如果具有指数函数的真实理论是可判定的，那么您的问题也是可判定的。众所周知，如果申尔的猜想持有，那么前者是可判定的，所以你的问题也是如此。

如果我理解正确，以下纸张解决了你的问题：

基本函数和常量的标识问题。丹理查森，约翰福特。 Issac'94。

似乎他们展示了如果Shanuel的猜想持有，则始终终止的程序;如果它没有终止特定表达式，那么我们可以从该表达中提取一个反射到杀死的猜想。然后，他们争辩说，我们似乎不太可能在很快就会找到一个反例，所以我们似乎不太可能找到这个过程未来任何时间终止的输入。

另请参见 https://mathoverflow.net/q/118972/37212 和 https://mathoverflow.net/q/129563/37212 和 https://mathoverflow.net/q/145299/37212