¿Hay alguna correspondencia entre tipo de suma en teoría de tipo y suma aritmética?

Question

¿Hay alguna correspondencia entre el tipo de coproducto (suma) en la teoría de tipo y la resumen aritmética?

Por ejemplo, ¿qué significa 3 + 4 o x + 6 en la teoría de tipo?

Answer 1

La notación aritmética en la teoría de tipo está motivada por el comportamiento en los conjuntos, donde la Unión de Disjoint $ A + B $ tiene $ | A | + | B | $ elementos; El producto cartesiano tiene $ | a | \ Times | B | $ elementos; y el conjunto de funciones $ b ^ a $ tiene $ | b | ^ {| a |} $ elementos. Los tipos de suma, producto y función satisfacen muchas de las identidades habituales que espera de aritmética (aunque típicamente hasta el isomorfismo, en lugar de la igualdad).

el papel Objetos de categorías como números complejos de Marcelo Fiore y Tom Leinster explora esto en Algunos detalles, aunque ayuda a tener un poco de experiencia con álgebra o teoría de la categoría.

A veces un número natural $ n $ denotará un tipo con exactamente $ n $ Términos en cualquier Contexto (análogo a un conjunto con $ n $ elementos). En esta configuración, $ 3 + 4 \ CONG 7 $ como tipos. $ x + 6 $ no está bien formado sin colocar $ x $ en algún contexto.