C'è qualche corrispondenza tra il tipo di somma nella teoria del tipo e la sommazione aritmetica?

Question

C'è qualche corrispondenza tra il tipo di coproduct (somma) tipo di tipo teoria del tipo e sommazione aritmetica?

ad esempio cosa significa 3 + 4 o x + 6 nella teoria del tipo?

Answer 1

La notazione aritmetica nella teoria del tipo è motivata dal comportamento sui set, in cui il disgiunto Unione $ A + B $ ha $ | A | + | B | $ elementi; Il prodotto cartesiano ha $ | A | \ volte | B | $ elementi; E il set di funzioni $ B ^ a $ ha $ | B | ^ {| A |} $ elementi. I tipi di somma, prodotto e funzione soddisfano molte delle solite identità che ti aspetti dell'aritmetica (anche se tipicamente fino all'isomorfismo, piuttosto che l'uguaglianza).

the paper oggetti di categorie come numeri complessi di Marcelo Fiore e Tom Leinster esplora questo in Alcuni dettagli, anche se aiuta ad avere una piccola esperienza con l'algebra o la teoria della categoria.

A volte un numero naturale $ N $ denoterà un tipo con esattamente $ n $ termini in qualsiasi Contesto (analogo a un set con $ N $ elementi). In questa impostazione, $ 3 + 4 \ cong 7 $ come tipi. $ x + 6 $ non è ben formato senza posizionare $ x $ in qualche contesto. .