Y a-t-il une correspondance entre la théorie de type Type de type et la sommation arithmétique?

Question

existe-t-il une correspondance entre le type de coproduit (somme) dans la théorie de type et la sommation arithmétique?

Par exemple, qu'est-ce que 3 + 4 ou x + 6 signifie la théorie de type?

Answer 1

La notation arithmétique dans la théorie de type est motivée par le comportement sur les ensembles, où l'union disjoint $ A + B $ a $ | A | + | B | $ éléments; Le produit cartésien a $ | a | \ fois | b | $ éléments; et l'ensemble de fonctions $ b ^ a $ a $ | b | ^ {| a |} $ éléments. Les types de somme, de produits et de fonctions satisfont à de nombreuses identités habituelles que vous attendez d'arithmétiques (bien que typiquement à l'isomorphisme plutôt que l'égalité).

Le papier Objets de catégories comme numéros complexes par Marcelo Fiore et Tom Leinster explore cela dans Certains détails, bien que cela aide à avoir une petite expérience avec l'algèbre ou la théorie de la catégorie.

Parfois un nombre naturel $ n $ désignera un type avec exactement $ n $ Contexte (analogue à un ensemble avec N $ N $ éléments). Dans ce paramètre, 3 + 4 \ CONG 7 $ TYPES. $ x + 6 $ n'est pas bien formé sans placer $ x $ dans un contexte.