Pourquoi x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $ détecte toutes les erreurs au plus 32768 bits à part?

Question

Question de référence du réseau informatique du livre de Forouzon. Trouvez le statut du générateur suivant lié à deux erreurs isolées et mono-bits. $$ x ^ {15} + x ^ {14} + 1 $$ réponse donnée: Ce polynôme ne peut pas diviser aucune erreur de type $ x ^ t + 1 $ si t est inférieur à 32 768.Ça signifie qu'un mot de code avec deux erreurs isolées qui se trouvent côte à côte ou jusqu'à 32 768 bits Apart peut être détecté par ce générateur. Quelqu'un peut-il m'aider pourquoi est-ce vrai ...?Ou même comment devrais-je avoir une approche générale pour analyser de telles questions ...? (Désolé si cela est très stupide, mais je suis incapable de saisir comment la raison fonctionne ...!)

Answer 1

Votre polynôme est Primitive , ce qui signifie que l'ordre de $ x $ modulo Votre polynôme est exactement 2 ^ {15} -1 $ .En particulier, $ x ^ a \ non \ equiv 1 $ modulo votre polynôme pour tous $ 1 \ Leq a \ Leq 2 ^{15} -2 $ , ce qui signifie que votre polynôme ne divise pas $ x ^ a-1 $ pour cette gamme de $ A $ .

(Cela signifie également que votre polynôme devrait diviser $ x ^ {2 ^ {15} -1} -1 $ , contrairement à la question de la question.)