فهم وظيفة النمو لفترات مغلقة في $ \ Mathbb {r} $

Question

أنا كدراسة VCDImensions ووظائف النمو ووجدت المثال التالي على Wikipedia :

المجال هو حقيقي مثل $ \ mathbb {r} $ . تحتوي المجموعة H على جميع الفواصل الزمنية الحقيقية، أي جميع مجموعات الصور $ \ {c \ in [x_1، x_2] | x \ in \ in \ mathbb {r} \} $ لبعض $ x_ {0، 1} \ in \ mathbb {r} $ .

لأي مجموعة C من الأرقام الحقيقية M، تقاطع $ h \ cap c $ يحتوي على جميع يعمل بين 0 و m متتالي عناصر C. عدد أشواط مثل $ {m + 1 \ اختر 2} + 1 $ ، لذلك النمو (H، M)= $ {m + 1 \ اختر 2} + 1 $ .

هل يمكن لأحد أن يشرح لي ماذا يشير المصطلح "جميع أشواط بين 0 و M" إلى هنا ولماذا وظيفة النمو هي $ {m + 1 \ اختر 2} + 1 $ وليس $ {m + 1 \ اختر 2} $ ؟

شكرا جزيلا!

Answer 1

دع الأرقام الحقيقية تكون $ r_1 <\ cdots .تقاطع $ h \ cap c $ يمكن أن يكون من النموذج $ \ {r_i، \ ldots، r_j \} $ for $ 1 \ leq i \ leq j leq m $ ، أو فارغة.هناك $ \ Binom {m + 1} {2} $ من النوع الأول، و $ 1 $ من النوع الثاني.

على سبيل المثال، إذا كان $ M= 1 $ ثم التقاطعات المحتملة $$ \ emptyset، \ {r_1 \}، $ إذا $ m= 2 $ ثم التقاطعات المحتملة $$ \ emptyset، \ {r_1 \}، \ {r_2 \}، \ {r_1، r_2 \}، $ وإذا كان $ m= 3 $ ثم التقاطعات المحتملة $$ \ {r_1 \}، \ {r_2 \}، \ {r_2 \}، \ {r_1، r_2 \}، \ {r_2، r_3 \}، \ {r_2، r_3 \}{r_1، r_2، r_3 \}.