Compreender a função de crescimento de intervalos fechados em $ \ mathbb {r} $

Question

i como estudando vcdimensões e funções de crescimento e encontramos o exemplo a seguir em Wikipedia : .

O domínio é o real como $ \ mathbb {r} $ . O conjunto H contém todos os intervalos reais, isto é, todos os conjuntos de formulário $ \ {c \ in [x_1, x_2] | x \ in \ mathbb {r}} $ para alguma $ x_ {0, 1} \ in \ mathbb {r} $ .

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Para qualquer conjunto de números reais, a intersecção $ h \ cap C $ contém tudo execuções de entre 0 e m consecutivo Elementos de C. O número de tais execuções de $ {m + 1 \ escolher 2} + 1 $ , portanto, o crescimento (h, m)= $ {m + 1 \ escolher 2} + 1 $ .

Alguém pode me explicar o que faz o termo "todas as corridas entre 0 e m", consulte aqui e por que a função de crescimento é $ {m + 1 \ escolha 2} + 1 $ e não $ {m + 1 \ escolha 2} $ ?

Muito obrigado!

Answer 1

Deixe os números reais serem $ r_1 <\ cdots .A interseção $ H \ Cap C $ poderia ser do formulário $ \ {R_I, \ LDOTS, R_J} $ para $ 1 \ leq i \ leq j \ leq m $ ou vazio.Há $ \ binom {m + 1} {2} $ do primeiro tipo, e $ 1 $ do segundo tipo.

Por exemplo, se $ m= 1 $ então as possíveis interseções são $$ \ Fortyset, \ {R_1 \}, $$ Se $ m= 2 $ então as possíveis interseções são $$ \ Fortyset, {R_1 \}, \ {R_2 \}, \ {R_1, R_2 \}, $$ e se $ m= 3 $ então as possíveis interseções são $$ \ Fortyset, \ {R_1 \}, \ {R_2 \}, \ {R_3 \}, \ {R_1, R_2 \}, \ {R_2, R_3 \}, \{R_1, R_2, R_3 \}.$$