Entender la función de crecimiento de los intervalos cerrados en $ \ mathbb {r} $

Question

i Como estudiando vcdimensiones y funciones de crecimiento y encontré el siguiente ejemplo en wikipedia :

El dominio es el real como $ \ mathbb {r} $ . El conjunto H contiene todos los intervalos reales, es decir, todos los conjuntos de formulario $ \ {c \ in [x_1, x_2] | x \ in \ mathbb {r}} $ para algunos $ x_ {0, 1} \ in \ mathbb {r} $ .

Para cualquier conjunto C de M números reales, la intersección $ h \ tap C $ contiene todas las de entre 0 y m consecutivas Elementos de C. El número de tales carreras de $ {m + 1 \ Elija 2} + 1 $ , por lo tanto, crecimiento (h, m)= $ {m + 1 \ Elegir 2} + 1 $ .

¿Puede alguien explicarme qué se refiere el término "todos los términos de entre 0 y m", consulte aquí y por qué la función de crecimiento es $ {m + 1 \ elegir 2} + 1 $ y no $ {m + 1 \ Elegir 2} $ ?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Deja que los números reales sean $ r_1 <\ cdots .La intersección $ H \ Cap C $ podría ser del formulario $ \ {r_i, \ ldots, r_j \} $ para $ 1 \ leq i \ leq j \ leq m $ , o vacío.Hay $ \ binom {m + 1} {2} $ del primer tipo, y $ 1 $ del segundo tipo.

Por ejemplo, si $ m= 1 $ entonces las posibles intersecciones son $$ \ vacioset, \ {r_1 \}, $$ Si $ m= 2 $ entonces las posibles intersecciones son $$ \ vacioset, \ {r_1 \}, \ {r_2 \}, \ {r_1, r_2 \}, $$ y si $ m= 3 $ entonces las posibles intersecciones son $$ \ vacioset, \ {r_1 \}, \ {r_2 \}, \ {r_3 \}, \ {r_1 \ _ \ \ {r_1, r_2 \}, \ {r_2, r_3 \}, \{r_1, r_2, r_3 \}.$$