Verständnis der Wachstumsfunktion von geschlossenen Intervallen in $ \ mathbb {r} $

Question

i als Studium von VCDIMENSIONS- und Wachstumsfunktionen und fand das folgende Beispiel auf Wikipedia :

Die Domäne ist der echte Like $ \ MathBB {R} $ . Der Set H enthält alle echten Intervalle, d. H. Alle Sätze von Formular $ \ {c \ in [x_1, x_2] | x \ in \ mathbb {r} \} $ für einige $ x_ {0, 1} \ in \ mathbb {r} $ . .

Für jeden Satz C von m reellen Zahlen, der Kreuzung $ h \ cap c $ enthält alle läufe von zwischen 0 und m aufeinanderfolgend Elemente von C. Die Anzahl derartiger Läufe von $ {m + 1 \ wähle 2} + 1 $ , sowachstum (h, m)= $ {m + 1 \ wähle 2} + 1 $ .

Kann mir jemand bitte erklären, was sich auf den Begriff "Alle Läufe zwischen 0 und M" auf hier beziehen, und warum die Wachstumsfunktion $ {M + 1 \ wähle 2} ist + 1 $ und nicht $ {m + 1 \ wähle 2} $ ?

vielen Dank!

Answer 1

Lassen Sie die reellen Zahlen $ r_1 <\ cdots sein.Die Kreuzung $ h \ cap c $ könnte das Formular $ \ {r_i, \ ldots, r_j \} $ für $ 1 \ leq i \ leq j \ leq m $ oder leer.Es gibt $ \ Binom {m + 1} {2} $ des ersten Typs und $ 1 $ des zweiten Typs.

Beispielsweise, wenn $ M= 1 $ dann sind die möglichen Schnittpunkte $$ \ Eleseetet, \ {R_1 \}, $$ Wenn $ M= 2 $ dann sind die möglichen Kreuzungen $$ \ EleseSet, \ {R_1 \}, \ {R_2 \}, \ {R_2 \}, \ {r_1, r_2 \}, $$ und wenn $ m= 3 $ dann sind die möglichen Schnittpunkte $$ \ EleseSet, \ {R_1 \}, \ {R_2 \}, \ {R_2 \}, \ {r_3 \}, \ {r_1 \}, \ {r_1, r_2 \}, \ {r_2, r_3 \ \ \{R_1, R_2, R_3 \}.$$