了解$ \ mathbb {r} $的封闭间隔的增长函数

Question

i作为研究vcdimensions和增长函数，并在 wikipedia ：

域是真实的 $ \ mathbb {r} $ 。该SET H包含所有实际间隔，即所有表单组 $ \ {c \在[x_1，x_2] | x \ in \ mathbb {r} \} $ 对于某些 $ x_ {0,1} \ in \ mathbb {r} $ 。

对于m实数的任何设置，交叉口 $ h \ cap c $ 包含所有运行连续0到m之间C的元素。 $ {m + 1 \选择2} + 1 $ ，因此增长（h，m）= $ {m + 1 \选择2} + 1 $ 。

可以任何人向我解释一下的术语“所有0到m”是什么参考这里以及为什么增长函数是 $ {m + 1 \选择2} + 1 $ 而不是 $ {m + 1 \选择2} $ ？

非常谢谢！

Answer 1

让实数为 $ r_1 <\ cdots 。交叉口 $ h \ cap c $ 可以是 $ \ {r_i，\ ldots，r_j \} $ for $ 1 \ leq i \ leq j \ leq m $ ，或空。有一个 $ \ binom {m + 1} {2} $ 的第一个类型， $ 1 $ 第二种类型。

例如，如果 $ m= 1 $ 那么可能的交叉点是 $$ \ imptyset，\ {r_1 \}，$$ 如果 $ m= 2 $ 那么可能的交叉点是 $$ \ imptyset，\ {r_1 \}，\ {r_2 \}，\ {r_1，r_2 \}，$$ 如果 $ m= 3 $ 那么可能的交叉点是 $$ \ imptyset，\ {r_1 \}，\ {r_3 \}，\ {r_1，r_2 \}，\ {r_2，r_3 \}，\{R_1，R_2，R_3 \}。$$